Question

Ile to równanie będzie miało rozwiązań?
3x^5-10x^3+15x+17=0

Answer 1

Odpowiedź:

Dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystając z definicji możemy sprawdzić czy istnieją pierwiastki całkowite oraz wymierne. Nie będę tutaj tego rozpisywać (wystarczy podstawiać odpowiednie liczby za x). Dochodzimy do wniosku, że nie ma wyżej wspomnianych. Wiemy jednak, że dla równań o stopniu nieparzystym musi istnieć przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (jak wynika z poprzednich rozważań jest to liczba niewymierna).

Wielomiany to funkcje ciągłe w całej dziedzinie, jeżeli znajdziemy przynajmniej jedną wartość ujemną (dla dowolnego argumentu) oraz jedną wartość dodatnią (dla dowolnego innego argumentu) to znaczy, że wykres przecina oś OX, czyli istnieje miejsce zerowe. Zatem:

Zgodnie z powyższym między -2 a -1 musi istnieć rozwiązanie. Jednak jak zbadać czy nie ma więcej pierwiastków? Zbadajmy monotoniczność:

Zauważmy, że jest to równanie dwukwadratowe, zatem:

Więc naszą pochodną zapiszemy jako:

Po co te rozważania? Udowodniliśmy właśnie że pochodna jest ZAWSZE dodatnia lub równa zero. Oznacza to, że funkcja wyjściowa rośnie (lub jest stała) w całej swojej dziedzinie, tym samym nie może ona zmienić znaku po raz drugi. Prowadzi to do wniosku, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, które zawiera się między -2 oraz -1.