Question

Ile rozwiązań w zależności od parametru m ma układ równań?

x2+y2+2x+4y=0
y= -2x+m

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Równanie okręgu i prostej, mogą mieć dwa punkty wspólne, jeden punkt wspólny (punkt styczności) lub nie mieć punktów wspólnych.

[tex]\left \{ {{x^2+y^2+2x+4y=0} \atop {y=-2x+m}} \right.\\x^2+(-2x+m)^2+2x+4(-2x+m)=0\\x^2+4x^2-4mx+m^2+2x-8x+4m=0\\5x^2-(6+4m)x+m^2+4m=0[/tex]

0 rozwiązań dla Δ<0

Δ=[-(6+4m)]²-4*5*(m²+4m)=36+48m+16m²-20m²-80m=-4m²-32m+36

  -4m²-32m+36<0     /:-4

    m²+8m-9>0

    Δ=64-4*1*(-9)=64+36=100, √Δ=10

[tex]m_1=\frac{-8-10}{2}=-9[/tex]          [tex]m_1=\frac{-8+10}{2}=1[/tex]

a>0 i y>0 więc rozwiązaniem jest m∈(-∞, -9)∪(1, +∞)

1 rozwiązaniem dla Δ=0

    m²+8m-9=0

m₁=-9  ∨   m₂=1

2 rozwiązania dla Δ>0

-4m²-32m+36>0

m²+8m-9<0

    Δ=64-4*1*(-9)=64+36=100, √Δ=10

[tex]m_1=\frac{-8-10}{2}=-9[/tex]          [tex]m_1=\frac{-8+10}{2}=1[/tex]

a>0 i y<0 więc rozwiązaniem jest m∈(-9, 1)