Question

Ile razy większą ma powierzchnię kula opisana na sześcianie niż kula wpisana w ten sześcian?

Answer 1

Średnica kuli wpisanej w sześcian  o krawędzi a jest równa długości krawędzi sześcianu, czyli promień kuli w tym wypadku wynosi r=a/2
W przypadku kuli opisanej na sześcianie o o krawędzi a średnica kuli jest równa przekątnej przestrzennej sześcianu. Łatwo ją obliczyć ze wzoru Pitagorasa:
p²=a²+b² gdzie b=a√2 to przekątna kwadratowej ściany sześcianu. Czyli:
p²=a²+2a²=3a² => p=a√3
Więc promień kuli opisanej na sześcianie wynosi R=p/2=a√3/2
Pole powierzchni kuli jest proporcjonalne do kwadratu promienia kuli. Jeżeli S₁ to pole kuli opisanej na sześcianie a S₂ to pole kuli wpisanej w sześcian, to:


Oznacza to, że pole kuli opisanej na sześcianie jest 3 razy większe od powierzchni kuli wpisanej w sześcian.