Question

Ile jest liczb pieciocyfrowych w których cyfra 5 się nie powtarza

Answer 1

Tych liczb jest 29 889.

Musimy znaleźć liczby pięciocyfrowe, w których cyfra 5 pojawia się tylko raz.

Jak znaleźć liczby pięciocyfrowe, w których pojawia się tylko raz cyfra 5?

Aby to zrobić, przeanalizujmy wszystkie możliwe przypadki.

1. Cyfra 5 pojawia się na początku liczby pięciocyfrowej

Jeśli cyfra 5 jest na początku liczby pięciocyfrowej to każda następna cyfra tej liczby musi się różnić od 5. Skoro cyfra 5 jest na początku liczby to możemy mieć jedynie jedną kombinację. Na kolejnych czterech miejscach stoją cyfry od 0 do 9 oprócz cyfry 5. Jest więc ich w sumie 9. Zapiszemy to jako:

1 × 9 × 9 × 9 × 9 = 6561 liczb

2. Cyfra 5 pojawia się na drugim miejscu liczby pięciocyfrowej

Jeśli cyfra 5 jest na drugim miejscu liczby pięciocyfrowej, to na początku tej liczby nie może stać ani cyfra 5, ani cyfra 0 (na pierwszym miejscu mogą więc stać cyfry 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 8 cyfr). Na pierwszym miejscu mamy więc 8 kombinacji, na drugim jedynie jedną (ponieważ musi się tam pojawić tylko jedna cyfra - 5), i na trzecim, czwartym i piątym miejscu mamy 9 kombinacji (na tych miejscach mogą stać cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 9 cyfr):

8 × 1 × 9 × 9 × 9 = 5832 liczb

3. Cyfra 5 pojawia się na trzecim miejscu liczby pięciocyfrowej

Jeśli cyfra 5 jest na trzecim miejscu liczby pięciocyfrowej, to na początku tej liczby nie może stać ani cyfra 5, ani cyfra 0 (na pierwszym miejscu mogą więc stać cyfry 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 8 cyfr). Na pierwszym miejscu mamy więc 8 kombinacji, na trzecim jedynie jedną (ponieważ musi się tam pojawić tylko jedna cyfra - 5), i na drugim, czwartym i piątym miejscu mamy 9 kombinacji (na tych miejscach mogą stać cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 9 cyfr):

8 × 9 × 1 × 9 × 9 = 5832 liczb

4. Cyfra 5 pojawia się na czwartym miejscu liczby pięciocyfrowej

Jeśli cyfra 5 jest na trzecim miejscu liczby pięciocyfrowej, to na początku tej liczby nie może stać ani cyfra 5, ani cyfra 0 (na pierwszym miejscu mogą więc stać cyfry 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 8 cyfr). Na pierwszym miejscu mamy więc 8 kombinacji, na czwartym jedynie jedną (ponieważ musi się tam pojawić tylko jedna cyfra - 5), i na drugim, trzecim i piątym miejscu mamy 9 kombinacji (na tych miejscach mogą stać cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 9 cyfr):

8 × 9 × 9 × 1 × 9 = 5832 liczb

5. Cyfra 5 pojawia się na ostatnim miejscu liczby pięciocyfrowej

Jeśli cyfra 5 jest na ostatnim miejscu liczby pięciocyfrowej, to na początku tej liczby nie może stać ani cyfra 5, ani cyfra 0 (na pierwszym miejscu mogą więc stać cyfry 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 8 cyfr). Na pierwszym miejscu mamy więc 8 kombinacji, na piątym jedynie jedną (ponieważ musi się tam pojawić tylko jedna cyfra - 5), i na drugim, trzecim i czwartym miejscu mamy 9 kombinacji (na tych miejscach mogą stać cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 - łącznie 9 cyfr):

8 × 9 × 9 × 9 × 1 = 5832 liczb

Teraz wszystkie te liczby dodajemy:

6561 + 5832 + 5832 + 5832 + 5832 = 29889

Tych liczb jest 29889.

#SPJ1