ile jest liczb dwucyfrowych podzielnych przez sumę swoich cyfr prosze wypisac jakie to liczby.... Question from @spoconyv2

Szukamy liczb postaci $10x+y$ gdzie $x\in\{1,2,\ldots,9\}$ i $y\in\{0,1,\ldots,9\}$ , które są podzielne przez $x+y$ , innymi słowy dla których zachodzi $\dfrac{10x+y}{x+y}\in \mathbb{Z}$ .

$\dfrac{10x+y}{x+y}=\dfrac{10x+10y-9y}{x+y}=\dfrac{10(x+y)-9y}{x+y}=10-\dfrac{9y}{x+y}$

Powyższe jest liczbą całkowitą gdy ułamek $\dfrac{9y}{x+y}$ jest liczbą całkowitą, a takie jest gdy $9y$ jest podzielne przez $x+y$ (co również można zapisać symbolicznie $\dfrac{9y}{x+y}\in\mathbb{Z}$ ).

Podstawmy pod $y$ kolejne liczby od 0 do 9 i sprawdźmy dla jakich wartości $x$ zachodzi powyższe.

$y=0\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{0}{x}$

0 jest podzielne przez każdą liczbę całkowitą, a więc powyższe zachodzi dla dowolnego $x$ z podanego zbioru. Zatem możliwe liczby w tym przypadku to 10,20,30,40,50,60,70,80,90.

$y=1\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{9}{x+1}$

9 jest podzielne przez $x+1$ gdy $x\in\{2,8\}$ . Możliwe liczby w tym przypadku to zatem 21 i 81.

$y=2\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{18}{x+2}$

18 jest podzielne przez $x+2$ gdy $x\in\{1,4,7\}$ . Możliwe liczby w tym przypadku to 12,42,72.

$y=3\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{27}{x+3}$

27 jest podzielne przez $x+3$ gdy $x=6$ . W tym przypadku jedyna możliwa liczba to 63.

$y=4\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{36}{x+4}$

36 jest podzielne przez $x+4$ gdy $x\in\{2,5,8\}$ . W tym przypadku możliwe liczby to 24,54,84.

$y=5\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{45}{x+5}$

45 jest podzielne przez $x+5$ gdy $x=4$ . W tym przypadku możliwa liczba to 45.

$y=6\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{54}{x+6}$

54 jest podzielne przez $x+6$ gdy $x=3$ . W tym przypadku możliwa liczba to 36.

$y=7\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{63}{x+7}$

63 jest podzielne przez $x+7$ gdy $x=2$ . W tym przypadku możliwa liczba to 27.

$y=8\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{72}{x+8}$

72 jest podzielne przez $x+8$ gdy $x\in\{1,4\}$ . W tym przypadku możliwe liczby to 18,48.

$y=9\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{81}{x+9}$

81 nie jest podzielne dla żadnego możliwego $x$ .

Wypisując teraz wszystkie liczby z każdego przypadku mamy: 10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90.

Uwzględniając jeszcze liczby ujemne (które otrzymujemy po prostu dopisując minus do powyższych) dostajemy ostatecznie: -90,-84,-81,-80,-72,-70,-63,-60,-54,-50,-48,-45,-42,-40,-36,-30,-27,-24,-21,-20,-18,-12,-10,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90.

Czyli łącznie jest 46 liczb.

1 votes Thanks 1

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social