Proszę o rozwiązanie tych zadań /z/ i +Re z + Imz = 2i √3i=z.... Question from @Madzia19900991

Madzia19900991 @Madzia19900991

December 2018 1 12 Report

Proszę o rozwiązanie tych zadań
/z/ i +Re z + Imz = 2i
√3i=z

Paawełek Niech w obu przypadkach z = ai + b.
Wówczas:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2} \\ \Re z=b \\ \Im z=a \\ \\ |z|i+\Re z+\Im z = 2i \\ \\ \hbox{Wiec masz rownanie:} \\ \\ \sqrt{a^2+b^2}i+a+b=2i \\ \\ \hbox{I przyrownujac czesci rzeczywiste i urojone:}$

$\begin{cases} \sqrt{a^2+b^2}=2 \qquad (...)^2 \\ a+b=0 \end{cases} \\ \\ \begin{cases} a^2+b^2=4 \\ a=-b\end{cases} \\ \\ \hbox{Drugie rownanie podkladam pod pierwsze:} \\ \\ (-b)^2+b^2 = 4 \\ 2b^2=4 \qquad /:2 \\ b^2=2 \qquad /\sqrt{} \\ \\ b_1=\sqrt{2} \\ a_1=-b_1=-\sqrt{2} \\ \\ \\ b_2=-\sqrt{2} \\ a_2=-b_2=\sqrt{2}$

Więc masz dwa rozwiązania:

$z_1= i\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}(i-1) \\ \\ z_2=-i\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-i)$

Drugie:

$z=\sqrt{3i} \qquad /(...)^2 \\ \\ z^2=3i \\ \\ (ai+b)^2=3i \\ \\ a^2i^2+2abi+b^2=3i \\ \\ 2abi + b^2-a^2 = 3i \\ \\ \hbox{Przyrownujesz czesci rzeczywiste i urojone:}$

$\begin{cases} 2ab=3 \qquad (...)^2 \\ b^2-a^2=0\end{cases} \\ \\ \begin{cases}4a^2b^2=9 \\ a^2=b^2 \end{cases} \\ \\ \hbox{Podstawiasz:} \\ \\ 4a^2 \cdot a^2=9 \qquad /:4 \\ \\ a^4=\dfrac{9}{4} \qquad /\sqrt[4]{} \\ \\ a_1=\sqrt{\frac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ b_1= \dfrac{\sqrt{6}}{2}\\ \hbox{lub} \\ b_1=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$a_2= -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ \\ b_2=\dfrac{\sqrt{6}}{2} \\ \hbox{lub} \\ b_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

oczywiście |z| > 0 ponieważ po prawej stronie masz pierwiastek zatem a>0 i b>0 (GŁÓWNY PIERWIASTEK) oraz a<0 i b<0 (POBOCZNY PIERWIASTEK)

skąd:

$\hbox{glowny pierwiastek:} \\ \\ z_1=\dfrac{\sqrt{6}}{2}i+\dfrac{\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}(i+1) \\ \\ \hbox{ten poboczny:} \\ \\ z_2=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}i-\dfrac{\sqrt{6}}{2}= -\dfrac{\sqrt{6}}{2}(i+1)$

1 votes Thanks 2