Question

W prostokąt wpisano trzy parami styczne okręgi w ten sposób, że dwa z nich są styczne do trzech boków, prostokąta, a trzeci jest styczny do jednego z boków prostokąta (patrz rysunek). Oblicz promień mniejszego okręgu jeżeli promień większego okręgu jest równy R.

Rysunek do zadania: http://img232.imageshack.us/img232/5464/hzest10x.gif

Wyszło mi że r= R(sqrt2-1). Czy wynik jest dobry ?

Answer 1

R - długość promienia większego okręgu

r - długość promienia mniejszego okręgu

Oznaczenia patrz załącznik

 

ΔBCD - trójkąt prostokątny

|BD| = R

|CD| = R - r

|BC| = R + r

z tw. Pitagorsa

|BD|² + |CD|² |BC|²

R² + (R - r)² = (R + r)²

R² + R² - 2Rr + r² = R² + 2Rr + r²

- 2Rr + r² - 2Rr - r² = R² - R² - R²

- 4Rr = - R²  /:(- 4R)

 

Odp. Długość promienia mniejszego okręgu wynosi