Hola amigos.. ayudenme con esta intgeral!.... Question from @johnny411

September 2018 1 213 Report

Hola amigos.. ayudenme con esta intgeral!

judagazu $\int _{-\infty \:}^{\infty \:}\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^2}dx$
Calculamos la integral indefinida:
Tomamos la fracción parcial de:
$\frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^2}$
Se crea un modelo para esa fracción:
$\frac{a_1x+a_0}{x^2+1}+\frac{a_3x+a_2}{\left(x^2+1\right)^2}$
Entonces:
$\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{a_1x+a_0}{x^2+1}+\frac{a_3x+a_2}{\left(x^2+1\right)^2}$
Se multiplica la ecuación por el denominador:
$\frac{x^2\left(x^2+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{\left(a_0+a_1x\right)\left(x^2+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(a_2+a_3x\right)\left(x^2+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)^2}$
Se simplifica:
$x^2=\left(a_0+a_1x\right)\left(x^2+1\right)+a_3x+a_2$
Expandimos:
$x^2=a_1x^3+a_0x^2+a_1x+a_3x+a_0+a_2$
Agrupamos los elementos de acuerdo a las potecias de X:
$1x^2=a_1x^3+a_0x^2+x\left(a_1+a_3\right)+\left(a_0+a_2\right)$
Igualamos los coeficientes para crear un tabla:
$\begin{bmatrix}a_0+a_2=0\\a_1+a_3=0\\a_0=1\\a_1=0\end{bmatrix}$
Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:
$a_2=-1,\:a_3=0,\:a_0=1,\:a_1=0$
Sutituimos en la fracción parcial:
$\frac{0x+1}{x^2+1}+\frac{0x+\left(-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$
Simplificar y nos queda:
$=\int \frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}dx$
Aplicando la regla de la suma:
$=\int \frac{1}{x^2+1}dx-\int \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}dx$
Aplicando la regla de la integración a:
$\int \frac{1}{x^2+1}dx$
$=\arctan \left(x\right)$
Tomamos:
$\int \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}dx$
Aplicamos la integración por sustitución:
$=\int \frac{1}{\left(\tan ^2\left(u\right)+1\right)^2}\frac{1}{\cos ^2\left(u\right)}du$
Nos queda:
$=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)}{\left(\tan ^2\left(u\right)+1\right)^2}du$
Usando la siguiente identidad: $\:1+\tan ^2\left(x\right)=\sec ^2\left(x\right)$
$=\int \frac{\sec ^2\left(u\right)}{\left(\sec ^2\left(u\right)\right)^2}du$
Nos queda:
$=\int \cos ^2\left(u\right)du$
Usando la siguiente identidad: $\cos ^2\left(x\right)=\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}$
$=\int \frac{1+\cos \left(2u\right)}{2}du$
Sacamos la constante:
$=\frac{1}{2}\int \:1+\cos \left(2u\right)du$
Aplicando de nuevo la sustitución:
$\frac{d}{du}\left(2u\right)$
Sacando constante y aplicando la regla de la derivación nos da:
$=2$
Por lo que:
$=\frac{1}{2}\int \left(1+\cos \left(v\right)\right)\frac{1}{2}dv$
Sacamos constnte y aplicamos la regla de la suma:
$=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\left(\int \:1dv+\int \cos \left(v\right)dv\right)$
Realizando el mismo procedimiento nos queda que:
$=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\left(v+\sin \left(v\right)\right)$
Se sutituye:
$=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\left(2\arctan \left(x\right)+\sin \left(2\arctan \left(x\right)\right)\right)$
Se simplifica:
$=\arctan \left(x\right)-\frac{1}{4}\left(2\arctan \left(x\right)+\sin \left(2\arctan \left(x\right)\right)\right)$
Simplificamos y agregamos una constante:
$=\arctan \left(x\right)+\frac{1}{4}\left(-2\arctan \left(x\right)-\sin \left(2\arctan \left(x\right)\right)\right)+C$
Calculamos los límites:
$\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(\arctan \left(x\right)+\frac{1}{4}\left(-2\arctan \left(x\right)-\sin \left(2\arctan \left(x\right)\right)\right)\right)=-\frac{\pi }{4}$
y
$\lim _{x\to \infty \:}\left(\arctan \left(x\right)+\frac{1}{4}\left(-2\arctan \left(x\right)-\sin \left(2\arctan \left(x\right)\right)\right)\right)=\frac{\pi }{4}$
Por lo que:
$=\frac{\pi }{4}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)$
Simplificamos y:
$=\frac{\pi }{2}$
¡Que integral más difícil Johnny!

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