Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2, dan garis y=x+4 Mohon bantuannya.... Question from @TasyaSalsabila

TasyaSalsabila @TasyaSalsabila

November 2019 1 73 Report

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y=x^2, dan garis y=x+4

Mohon bantuannya

kotakmasuk

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2, dan garis y=x+4.

Jawaban

Pendahuluan

Soal matematika di atas merupakan materi dari perhitungan diferensial atau turunan pada persamaan kuadrat. Turunan atau diferensial adalah perhitungan dengan menurunkan pangkat suatu variabel pada fungsi bervariabel tertentu.

Pembahasan

Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yaitu ax^2 + bx + c = 0, dimana a adalah koefisien dari variabel x^2, b adalah koefisien dari variabel x^1, dan c adalah koefisien dari variabel x^0.

$ax^2 + bx + c = 0$

Dalam persamaan kuadrat, rumus umum yang digunakan dalam koefisien persamaan kuadrat adalah nilai diskriminan, yang dinotasikan dengan D dan dirumuskan dengan D = b^2-4ac.

$D = b^2-4ac$

Jenis bilangan pada akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai diskriminannya melalui koefisiennya.

Akar riil/nyata, maka D ≥ 0
Akar riil berlainan, maka D > 0
Akar riil sama/kembar, maka D = 0
Akar tidak riil (imajiner), maka D < 0

Akar-akar persamaan kuadrat dengan bentuk umum ax^2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan rumus umum yang melibatkan koefisiennya sebagai berikut yaitu x1 = (-b+√D)/2a dan x2 = (-b-√D)/2a.

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\\x_{2} = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Selain itu juga terdapat rumus pendukung yang melibatkan koefisiennya persamaan kuadrat.

Penjumlahan akar-akar persamaan kuadrat (x1 + x2 = -b/a)

$x1 + x2 = -\frac{b}{a}$

Perkalian akar-akar persamaan kuadrat (x1 ⋅ x2 = c/a)

$x1 * x2 = \frac{c}{a}$

Selisih akar-akar persamaan kuadrat (x1 - x2 = √D/a)

$x1 - x2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$

Perhitungan secara diferensial/turunan adalah dengan menurunkan pangkat suatu variabel sebanyak 1 atau x^(n-1) kemudian dikalikan dengan nilai pangkat sebelum diturunkan sehingga menjadi nx^(n-1). Fungsi diferensialnya dinotasikan f(x)' atau df(x)/dx. Sebagai contoh terdapat fungsi matematika yaitu f(x) = ax^2+bx+c.

$f(x) = ax^2+bx+c\\f'(x) = 2ax^{(2-1)}+1bx^{(1-1)}\\f(x) = 2ax+b\\\frac{d[f(x)]}{dx} = 2ax+b$

Perhitungan secara turunan berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.

$h(x) = f(x) + g(x)\\h(x) = g(x) + f(x)
$

$h'(x) = f'(x) + g'(x)\\h'(x) = g'(x) + f'(x)
$

$\frac{d[h(x)]}{dx} = \frac{d[f(x)]}{dx} + \frac{d[g(x)]}{dx}\\\frac{d[h(x)]}{dx} = \frac{d[g(x)]}{dx} + \frac{d[f(x)]}{dx}
$

Perhitungan secara integral adalah dengan menaikkan pangkat suatu variabel sebanyak 1 atau x^(n+1) kemudian dibagi dengan nilai pangkat sesudah diturunkan sehingga menjadi [1/(n+1)]x^(n+1). Fungsi diferensialnya dinotasikan F(x) dengan menggunakan tanda operasi ∫. Sebagai contoh terdapat fungsi matematika yaitu f(x) = ax^2+bx+c.

$f(x) = ax^2+bx+c\\F(x) = \frac{1}{2+1}ax^{(2+1)}+\frac{1}{1+1}bx^{(1+1)}+cx\\F(x) = \frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx$

Perhitungan integral dibagi menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.

Untuk perhitungan integral tak tentu, maka hasilnya ditambah dengan nilai konstanta atau k.

$F(x) = \frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx +k$

Untuk perhitungan integral tertentu, maka hasilnya berupa bilangan bulat sehingga terdapat 2 nilai variabel yang dituliskan sebagai berikut.

$F(x) = \frac{1}{3}ax^{3}+\frac{1}{2}bx^{2}+cx \left | {{1} \atop {0}} \right\\F(x) = [\frac{1}{3}a(1)^{3}+\frac{1}{2}b(1)^{2}+c(1)] - [\frac{1}{3}a(0)^{3}+\frac{1}{2}b(0)^{2}+c(0)]\\F(x) = \frac{11}{6}$

Menghitung dua titik pada kurva dan garis yang bersinggungan dengan menggabungkan fungsi yang berbeda.

f(x) = x²

g(x) = x + 4

y = y

f(x) = g(x)

x² = x + 4

x² - x - 4 = 0

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\\x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}\\\\x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\\x_1=2,56\\x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}\\x_2=-1,56$

Nilai batas atas adalah 2,56 dan nilai batas bawah adalah -1,56.

Perhitungan integral tertentu

$L = \int\limits^{x_1}_{x_2} {f(x) - g(x)} \, dx \\L = \int\limits^{2,56}_{-1,56} {x^2 - (x+4)} \, dx \\L = \int\limits^{2,56}_{-1,56} {x^2 - x - 4} \, dx\\L = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 4x \left | {{2,56} \atop {-1,56}} \right\\L = [\frac{1}{3}(2,56)^3 - \frac{1}{2}(2,56)^2 - 4(2,56)] - [\frac{1}{3}(-1,56)^3 - \frac{1}{2}(-1,56)^2 - 4(-1,56)]\\L = |[5,59 - 3,27 - 10,24] - [-1,26 - 1,21 + 6,24]|\\L = 4,15$