Question

Hejka, czy ktoś mógłby wytłumaczyć dlaczego cosinus musi być w miejscu gdzie musi, ( chyba że nie musi ale wyniki się różnią więc chyba musi lol) zadanie do kontekstu.
<3

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Zacznijmy od ogólności.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do  tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Dla załączonego rysunku ( w zależności od wariantu), będzie więc (matematycznie):

WARIANT 1                                        WARIANT 2

sin α = (√5)/c                                     sin α = a/c  

cos α = a/c                                         cos α = (√5)/c

Z treści zadania wiemy, że cos α = 1/4.

Z tzw. "jedynki trygonometrycznej" wiemy z kolei, że: sin²α + cos²α = 1

To, użyjmy tej "jedynki trygonometrycznej", będzie więc:

sin²α + cos²α = 1

a po podstawieniu za: cos α = 1/4 będzie dalej:

sin²α + (1/4)² = 1

i dalej:

sin²α + (1/16) = 1

To, po przekształceniu, otrzymamy:

sin²α = 1 - 1/16

sin²α = 15/16

Zatem (po obustronnym spierwiastkowaniu):

pierwiastek (sin²α) = pierwiastek (15/16)

Czyli: sin α = √15/4

Z definicji funkcji sinus α kata ostrego w trójkącie prostokątnym i przyrównaniu uzyskanego wyniku ( sin α = √15/4 ) do zapisów tej definicji, wynika więc wprost, że:

WARIANT 1

[1] z obliczeń ( z jedynki trygonometrycznej)  

sin α = √15/4

[2] z definicji funkcji sinus α:

sin α = (√5)/c

To, z porównania [1] i [2] wychodzi, że:

długość przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta α wynosi: √5 = (?) √15   oraz  długość przeciwprostokątnej, wynosi: c = 4

Otrzymujemy sprzeczność, gdyż: √5 nie równa się √15

To teraz "zbadajmy" WARIANT 2.

[1] z obliczeń (z jedynki trygonometrycznej)  

sin α = √15/4

[2] z definicji funkcji sinus α:

sin α = a/c

To, z porównania [1] i [2] wychodzi, że:

długość przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta α wynosi: a = √15   oraz  długość przeciwprostokątnej, wynosi: c = 4

Zatem, nie otrzymujemy żadnej sprzeczności.

Fakt ten sugeruje, że przyjęcie jako prawidłowego WARIANTU 2 jest zasadne.

Ale, żeby nie być gołosłownym, sprawdźmy obliczenia dla funkcji cosinus α.

Z definicji funkcji cosinus α kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i przyrównaniu danej z zadania, tj. ( cos α = 1/4 ) do zapisów tej definicji, wynika więc wprost, że:

WARIANT 1

[1] z treści zadania  

cos α = 1/4

[2] z definicji funkcji cos α:

cos α = a/c

To, z porównania [1] i [2] wychodzi, że:

długość przyprostokątnej przyległej do kąta α wynosi: a = 1   oraz  długość przeciwprostokątnej, wynosi: c = 4

Konkluzja - BRAK SPRZECZNOŚCI.

To teraz "zbadajmy" WARIANT 2.

[1] z treści zadania:  

cos α = 1/4

[2] z definicji funkcji cos α:

cos α = √5/c

To, z porównania [1] i [2] wychodzi, że:

długość przyprostokątnej przyległej do kąta α wynosi: a = √5   oraz  długość przeciwprostokątnej, wynosi: c = 4, ale przecież w treści zadania "powiedziano", że cos α = 1/4.

To nie może być jednocześnie:

cos α = 1/4   i   cos α = √5/4   - jawna SPRZECZNOŚĆ.

A to znów każe stwierdzić, że PRAWIDŁOWYM zobrazowaniem funkcji:

[sin α] i [cos α]  w trójkącie prostokątnym, jest WARIANT 1.