Question

Halle los puntos en donde la tangente a la curva x^3 + 3xy + 2y^2 + 4y = 1 es horizontal o
vertical.

Answer 1

Bueno, tienes la siguiente ecuación, ¿estás de acuerdo que no es una función?...porque no es inyectiva...en fin,



y lo que debes hacer es derivar implicitamente, entonces, vamos a hallar  , entonces derivamos todo respecto de equis, y cuando no topemos con algo que tenga "ye", aumentamos la derivada...entonces,



lo del parétnesis es aplicando la derivación del producto....las demas es justamente aplicar la derivacion implicita, bien, entonces,



y ya tienes la derivada, ahora debemos hallar los puntos en donde la pendiente de la recta tangente vale cero, entonces igualamos a cero,



y listo, entonces la parabola, nos va indicar justamente los puntos de intersección con la ecuación original en donde la pendiente vale cero...entonces solo hay que reemplazar éste valor a la ecuación es decir,

Reemplazas    en la ecuación original (sin derivar), entonces,



y ahora hay que encontrar las soluciones...puedes usar una calculadora cientifica.....o si sabes el método de aproximación de Newton-Raphson....de donde obtienes que,



y esos serían los puntos donde la recta tangente tienen pendiente nula...adicional...queda claro que, de la ecuación que obtuvimos de igualar la derivada a acero, tienes,



la solución 0, también forma parte de las soluciones...entonces,



y eso sería todo¡...

lo más optimo sería que obtengas las imágenes...es decir buscar la coordenada en el eje ye...si gustas...abajo te dejo una gráfica...

La función en color rojo, no es función primero. Luego, tiene tres puntos críticos que son justamente los que indican...la ecuación en color verde...y justamente necesitabamos hallar los puntos de intersección.

Espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas...