Wakacje z matematyką cz. 1Przygotowanie do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego.Proszę o pełne rozw.... Question from @NeedYouByMySide

September 2018 1 74 Report

Wakacje z matematyką cz. 1

Przygotowanie do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego.

Proszę o pełne rozwiazania, obliczenia i liczę na to, że jeśli będę potrzebować wyjaśnienia do któregoś z zadań, to je otrzymam ;) Proszę nie spamować, odpowiedzi, które będą spamem, natychmiast będą zgłaszane.

8 zadań tylko sprawdzić i ewentualne błędy poprawić, 12 proszę o zrobienie

Zadania do sprawdzenia:

Zadanie 1. ( 1 pkt )

O pewnej liczbie dodatniej wiadomo, że jej sześcian jest od tej liczby większy o jej ośmiokrotność. Wyznacz tę liczbę.

A. 2 B. 3 C. 2D. 8 E. Żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna.

Moja odp.:C

Zadanie 2. ( 1 pkt )

Butelka ma pojemność litra. W butelce znajduje się sok, który zajmuje 75% jej pojemności.
Ile soku pozostanie w butelce po odlaniu z niejlitra tego soku?
A. $\frac{1}{20}$ litra B. $\frac{3}{40}$ litra C. $\frac{1}{10}$ litra D. $\frac{1}{8}$ litra E. Butelka będzie pusta.

Moja odp.:C

Zadanie 3.( 1 pkt )

Dana jest funkcja: Każdej liczbie dwucyfrowej mniejszej od 20 jest przyporządkowana reszta z dzielenia tej liczby przez 3. Wskaż zestaw liczb, w którym podano wszystkie miejsca zerowe tej funkcji.

A. 12, 15, 16 B. 10, 13, 16 C. 15, 18, 19 D. 12, 15, 18 E. 13, 15, 18

Moja odp.:D

Zadanie 7. ( 2 pkt )

Cyfrą jedności liczby 353 jest

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

Moja odp.:B

Zadanie 8. ( 2 pkt )

Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych nieparzystych, jest zawsze

A. nieparzysta.

B. podzielna przez 3.

C. podzielna przez 5.

D. podzielna przez 8.

E. podzielna przez 16.

Moja odp.:D

Zadanie 9. ( 2 pkt )

Jaką miarę ma kąt większy od półpełnego, utworzony o godzinie 920 przez wskazówki zegara: godzinową i minutową?

A. 185o B. 190o C. 195o D. 200o E. Inna odpowiedź.

Moja odp.:D

Zadanie 11. ( 2 pkt )

Cena pióra i cena długopisu są równe. Jeśli pióro podrożeje o 5%, a długopis o 3%, to za zestaw złożony z trzech piór i trzech długopisów trzeba będzie zapłacić

o 24% więcej niż przed podwyżką.

o 20% więcej niż przed podwyżką.

o 16% więcej niż przed podwyżką.

o 8% więcej niż przed podwyżką.

o 4% więcej niż przed podwyżką.

Moja odp.:E

Więcej zadań nie zdążyłam zrobić, więc daję możliwość popisu Wam ;)

Zadanie 4. ( 1 pkt )

Punkty A = (1, –2) , C = (4, 2) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Wysokość tego trójkąta ma długość

A. $\frac{5\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

E. $\frac{7\sqrt{2}}{4}$

Zadanie 5. ( 1 pkt )

Droga między miastami A i B ma długość 100 km. W tej samej chwili z każdego z tych miast wyruszył samochód w stronę drugiego miasta. Samochód jadący z miasta A poruszał się ze średnią szybkością 72 km/h, a samochód jadący z miasta B poruszał się ze średnią szybkością 108 km/h. W jakiej odległości od miasta B spotkały się te samochody?

A. 58

B. 60

C. 65

D. 78

E. Żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna.

Zadanie 6. ( 1 pkt )

Powierzchnię całkowitą walca P o wysokości h i promieniu podstawy rmożna wyznaczyć ze wzoru
P= 2πr2 + 2πrh. Wyznaczając h z tego wzoru otrzymujemy

A. $h = P-2\pi r(r - 1)$
B. $h=\frac{P-2\pi r^2}{2r}$
C. $h=\frac{P}{2\pi r}-r$
D. $h=r-\frac{P}{2\pi r}$
E. $h=\frac{P+2\pi r^2}{2\pi r}$

Zadanie 10. ( 2 pkt )

Liczby dodatnie p, q, r, s i tsą takie, że pq = 3, qr = 5, rs = 7, st = 9. Jaką wartość ma $\frac{t}{p}$ ?
B. $\frac{7}{15}$ D. $\frac{2}{15}$ E. Wartości tej nie można wyznaczyć.

Nie wiem, dlaczego, ale niestety były tu podane tylko 3 odp., więc jeśli nie będą się zgadzały te 3, to proszęo podanie poprawnej.

Zadanie 13. ( 3 pkt )

Jeżeli a≠ b i a + b = 2c , to suma $\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c}$ jest równa

A. 3,5 B. 2 C. 1,5 D. 1 E. 0,5

Zadanie 14. ( 3 pkt)

Droga z A do B ma 8 km długości i biegnie najpierw pod górę, potem po równinie, a następnie w dół. Na przebycie tej drogi w obie strony grupa turystów potrzebowała łącznie 5 godzin. Idąc pod górę grupa pokonywała średnio 2 km w ciągu godziny, idąc w dół – 5 km w ciągu godziny, a idąc po równinie – 4 km w ciągu godziny. Ile kilometrów tej drogi biegnie po równinie?

A. 4 km

B. 3 km

C. 2 km

D. 1 km

E.Żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna.

Zadanie 15. ( 3 pkt )

Wskaż prawdziwą nierówność.

A. $\sqrt[4]{30}>3\sqrt{40}$ B. $\sqrt{2}<\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ C. 0,110 < 0,320 D. $\sqrt{10}>\sqrt{2}+\sqrt{5}$ E. $\sqrt{3}>\sqrt[3]{4}$

Zadanie 16. ( 3 pkt )

Liczba a jest większa od liczby b o 20% liczby b.

Wynika z tego, że liczba b jest mniejsza od liczby a o

A. 32,3 % liczby a.

B. 20% liczby a.

C. 19,2 % liczby a.

D. 16% liczby a.

E. 14,7 % liczby a.

Zadanie 17. ( 3 pkt )

Państwo Nowakowie mają kilkoro dzieci. Średnia wieku rodziny Nowaków wynosi 20 lat. Matka ma 40 lat. Średnia wieku wszystkich członków rodziny bez matki jest równa 16 lat. Ile dzieci jest w rodzinie Nowaków?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

Zadanie 18. ( 3 pkt )

Moneta o średnicy 1 cm toczy się po obwodzie sześciokąta foremnego o boku długości 1 cm (patrz rysunek) tak długo, aż powróci do położenia początkowego.
Ile centymetrów ma długość drogi, którą zakreślił środek monety?

A. 9 B. 6 +  C. 12 +  D. 12 + 2 E. 6 + 2

Zadanie19. ( 3 pkt )

Jeżeli w trójkącie długości dwóch wysokości są nie mniejsze od długości boków, na które są opuszczone, to trójkąt jest

prostokątny równoramienny.

ostrokątny równoramienny.

prostokątny różnoboczny.

różnoboczny.

rozwartokątny równoramienny.

Zadanie 20. ( 3 pkt )

Wartość wyrażenia $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ jest równa

A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}$

B. $1+\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$

C. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}+\frac{1}{50}$

D. $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}$

E. $\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$

Liczę na profesjonalne opowiedzi. Bedzie najlepsza. Dziękuję ;)

PS Kolejna część serii za około tydzień.

cyfra

zadanie 1

$a^3 - a = 8a\\ a^3 - 9a = 0\\ (a - 3)(a + 3)a = 0\\ a>0\\ a = 3$

odp.: B

zadanie 2

jesteś pewna treści?

odp. E (skoro nie ma litra to nic nie zostanie)

dla treści z komentarza odpowiedź jest poprawna

zadanie 3

okej

zadanie 4

obliczamy długość boku (z tw. Pitagorasa):

$|AC| = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\\ h = \frac{|AC|\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

odp.: D

zadanie 5

najpierw policzymy czas po jakim się spotakały:

$100 km = 108 \frac{km}{h}*t + 72\frac{km}{h}*t = 180\frac{km}{h}*t\\ t =\frac{100 km}{180\frac{km}{h}} = \frac{10}{18}h = \frac{5}{9}h\\ 100km - s_A = 100 km - 72\frac{km}{h}*\frac{5}{9}h = 100 km - \frac{360}{9}km = 100 km - 40 km = 60 km$

odp.: B

zadanie 6

$P= 2\pi r^2 + 2\pi rh\\ P - 2\pi r^2 = 2\pi rh\\ h = \frac{P - 2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{P}{2\pi r} - \frac{2\pi r^2}{2\pi r} = \frac{P}{2\pi r} - r$

odp.: C

zadanie 7

okej

zadanie 8

okej

zadanie 9

okej

zadanie 10

oczywiście wszystkie są różne od 0

$\frac{t}{p} = \frac{\frac{9}{s}}{\frac{3}{q}} = \frac{\frac{9}{\frac{7}{r}}}{\frac{3}{\frac{5}{r}}} = \frac{\frac{9}{7}r}{\frac{3}{5}r} = \frac{\frac{9}{7}}{\frac{3}{5}} = \frac{9*5}{7*3} = \frac{15}{7}$

zadanie 11

okej

zadanie 12

okej

zadanie 13

$\frac{a}{a-c}+\frac{b}{b-c} = \frac{a}{a-\frac{a + b}{2}}+\frac{b}{b-\frac{a + b}{2}} = \frac{a}{\frac{a - b}{2}}+\frac{b}{\frac{b - a}{2}} = \frac{2a}{a - b}-\frac{2b}{a - b} = \frac{2a - 2b}{a - b} = 2$

odp.: B

zadanie 14

$\begin{cases} t_a + t_b + t_c = 5 h\\ 2\frac{km}{h}*t_b + 5\frac{km}{h}*t_c + 4\frac{km}{h}*t_a = 8 km \end{cases}\\ \begin{cases} t_a + t_b + t_c = 5 h\\ 2\frac{1}{h}*t_a + 5\frac{1}{h}*t_b + 4\frac{1}{h}*t_c = 8 \end{cases}\\ 2\frac{1}{h}*(5h - t_b - t_c) + 5\frac{1}{h}*t_b + 4\frac{1}{h}*t_c = 8 \\ 10 + 3\frac{1}{h}*t_b + 2\frac{1}{h}*t_c = 8\\ 3\frac{1}{h}*t_b + 2\frac{1}{h}*t_c + 2 = 0$

mamy sprzeczne równanie (ujemne rozwiązanmia nas nie interesują), zauważamy, że nawet poruszajjąc się z minimalną prędkością (pod grórę) musimy pokonąc conajmniej:

$2\frac{km}{h}*5h = 10 km > 8 km$

odp.: E

zadanie 15

$\sqrt[4]{30} - 3\sqrt{40} = \frac{\left(\sqrt[4]{30} - 3\sqrt{40}\right)*\left(\sqrt[4]{30} + 3\sqrt{40}\right)}{\left(\sqrt[4]{30} + 3\sqrt{40}\right)} = \frac{\sqrt{30} - 360}{\left(\sqrt[4]{30} + 3\sqrt{40}\right)} < 0 \Rightarrow \sqrt[4]{30} < 3\sqrt{40}$

odp.: E

zadanie 16

$a - 20\%b = b\\ a = 120\%b = 1,2b\\ a - x\%a = b = \frac{a}{1,2}\\ 1,2 - x\%*1,2 = 1\\ 0,2 = x\%*1,2\\ 1 = x\%*6\\ x\% = \frac{1}{6} = \frac{100}{6}\% = 16\frac{2}{3}\%\\ x = 16\frac{2}{3}$

odp.: D

zadanie 17

$\frac{(x + 1)16+40}{x + 2} = 20\\ (x + 1)16+40 = 20(x + 2)\\ 20x - 16x = 40 + 16 - 40\\ 4x = 16\\ x = 4$

odp.: C

zadanie 18

środek zakrśli sześciokąt z zaokronglonymi kątami, normalne boki (niezaokrąglone) będą długości tej samej co krawędź pierwszego czworokąta, czyli droga wyniesie:

$6*1cm + 6*2\pi*\frac{1 cm}{2}*\frac{\alpha}{360^o} = 6 cm + \frac{\alpha}{60^o}*\pi cm$

gdzie α to miara kąta, który jest utoworzyny przez proste prostoopadłe do dwóch:

$\alpha = 360^o - 120^o - 2*90^o = 60^o$

$6 cm + \frac{\alpha}{60^o}*\pi cm = 6 cm + \frac{60^o}{60^o}*\pi cm = 6 cm + \pi cm$

zadanie 19

prostokątny różnoboczny, różnoboczny, rozwartokątny równoramienny, ostrokątny równoramienny - nie bo każdy prostokątny równoramiewnny spełnia warunek a nie należy to tej grupy

czyli zostaje tylko odpowiedź A (metodą eliminacji)

zadanie 20

$1 = 1\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} = \frac{2}{4}+\frac{2}{6} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6} = \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{12} = \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} + \frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...-\frac{1}{12} = \frac{2}{8}+\frac{2}{10}+\frac{2}{12} + \frac{1}{7}-\frac{1}{8}+...-\frac{1}{12} = \frac{1}{7}+...+\frac{1}{12}\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{25} = \frac{1}{7}+...+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}-...+\frac{1}{25} = \frac{2}{14}+...+\frac{2}{24}+\frac{1}{13}-...+\frac{1}{25} = \frac{1}{13}+...+\frac{1}{25}\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{50} = \frac{1}{13}+...+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}+...-\frac{1}{50} = \frac{2}{26}+...+\frac{2}{50}-\frac{1}{26}+...+\frac{1}{25} = \frac{1}{26}+...+\frac{1}{50}\\ 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100} = \frac{1}{26}+...+\frac{1}{50}+\frac{1}{51}-...-\frac{1}{100} = \frac{2}{52}+...+\frac{2}{100}+\frac{1}{51}-...-\frac{1}{100} = \frac{1}{51}+...+\frac{1}{100}$