Wakacje z matematyką cz. 2Przygotowanie do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego.Proszę o pełne rozw.... Question from @NeedYouByMySide

September 2018 1 84 Report

Wakacje z matematyką cz. 2

Przygotowanie do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego.

Proszę o pełne rozwiazania, obliczenia i liczę na to, że jeśli będę potrzebować wyjaśnienia do któregoś z zadań, to je otrzymam ;) Proszę nie spamować, odpowiedzi, które będą spamem, natychmiast będą zgłaszane.

11 do zrobienia (w tym 3 otwarte i 8 zamkniętych) i 3 do sprawdzenia.

W zadaniach otwartych proszę o wszystkie obliczenia, w zamkniętych także, ale nie muszą być aż tak szcsegółowe.

Zadania do sprawdzenia:

Zadanie 4. ( 4 pkt )

Pewien zestawliczb utworzono według następującej reguły:

„jeżeli weźmiemy dwie kolejne liczby a, b tego zestawu, to następną liczbę otrzymamy dzieląc iloczyn liczb a i b przez ich sumę”.

Wiedząc, że pierwszą liczbą tego zestawujest $\frac{1}{2}$ , a drugą liczbą jest $\frac{1}{3}$ znajdź

a) trzecią i czwartą liczbę tego zestawu.

wyszło mi $\frac{1}{5}$ i $\frac{1}{8}$

b) trzynastą liczbę tego zestawu.

wyszło mi $\frac{1}{610}$

Zadanie 7. ( 1 pkt )

Anna otrzymuje 25 euro za 6 godzin pracy, a Leszek 49 euro za 12 godzin pracy. Ile godzin muszą obydwoje pracować jako zespół, aby przy takiej samej wydajności pracy każdego z nich, zarobili łącznie 82,5 euro?

A.5 B.10 C.ok.13,5 D.15 E.17,5

po wyliczeniu układu równań wyszło mi 10.

Zadanie 9. ( 1 pkt )

Jaki jest stosunek obwodu wyróżnionej części koła do obwodu tego koła?

A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{6+\pi}{\pi}$ D. $\frac{3+\pi}{3\pi}$ E.żadna z odp. A, B, C, D nie jest poprawna

rysunek w załączniku

wyszła mi odp. D

pozostałe zadania;

Zadanie 1. ( 4 pkt )

Z miasta A do miasta B wyruszył samochód jadący ze stałą szybkością xkm/h. W tym samym momencie z miasta Bdo miasta Awyruszył drugi samochód jadący ze stałą szybkością y km/h. Na trasie samochody spotkały się. Od momentu spotkania pierwszy samochód potrzebował 2 godz. 30 min na dojazd do miasta B, a drugi 1 godz. 36 min na dojazd do miasta A. Ile czasu potrzebował każdy z tych samochodów na przejechanie trasy pomiędzy miastami?

Zadanie 2. ( 4 pkt )

Dany jest sześcian ABCDEFGH, którego krawędź ma długość 1. Na krawędziach GH, CB, AE wybrano odpowiednio punkty X, Y, Z w taki sposób, że:
- długość odcinka HX stanowi $\frac{1}{3}$ długości odcinka GH,
- długość odcinka CY stanowi $\frac{1}{3}$ długości odcinka CB,
- długość odcinka EZ stanowi $\frac{2}{3}$ długości odcinka AE.
Oblicz pole trójkąta XYZ.

rysunek w załączniku.

Zadanie 3. ( 3 pkt )

Oblicz wartość wyrażenia.

(1² + 2² + 3² + … + 2008² + 2009²) – ( 1 * 3 + 2 * 4 + 3 * 5 + … + 2007 *2009 + 2008 * 2010)

Zadanie 5. ( 1 pkt )

Długości boków kwadratów przedstawionych na rysunku są równe 1.
Pole czworokąta ABCD jest równe:

A. $\sqrt{2}-1$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{\sqrt{2+1}}{2}$ D. $\sqrt{2}+1$ E. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

rysunek w załączniku

Zadanie 6. ( 1 pkt )

Cyfrą jedności pewnej liczby trzycyfrowej jest 2. Jeżeli tę cyfrę przesuniemy przed cyfrę setek, to otrzymamy nową liczbę trzycyfrową o 36 mniejszą od początkowej. Ile wynosi suma cyfr początkowej liczby?

A.11 B.10 C.9 D.8 E.7

Zadanie 8. ( 1 pkt )

Punkty A, B i C są środkami okręgów wzajemnie stycznych ( rysunek obok ).
Okrąg o środku A ma promień r. Obwód trójkąta ABC jest równy

A. $\sqrt{3}r$ B.2r C. $\frac{3\sqrt{3}}{4}r$ D.2,5r E. $\frac{3\sqrt{3}}{2}r$

rysunek w załączniku

Zadanie 10.( 2 pkt )

Które z podanych równości są prawdziwe dla dowolnych liczb k i m ?

I(k-m)²=(m-k)²

II (m-k)²=(k+m)²

III (-k-m)²=(m+k)²

IV -(k-m)²=(m-k)²

A.I i II B.I i III C.II i III D.III i IV E.I i IV

Zadanie 11. ( 2 pkt )

W pewnej klasie prawie wszyscy uczniowie mają po tyle samo lat. Wyjątek stanowi trzech uczniów: dwóch z nich jest starszych o rok, a jeden jest młodszy o rok od większości uczniów. Wszyscy uczniowie w klasie mają łącznie 208 lat. Ilu uczniów jest w tej klasie?

A.28 B.27 C.23 D.20 E.9

Zadanie 12. ( 2 pkt)

W równoległoboku kąt ostry ma miarę 60°.Do boku o długości 6 cm jest prostopadła jedna z przekątnych tego równoległoboku. Oblicz jego pole.

A.10√3 cm² B.30√3 cm² C.60√3 cm² D.120√3 cm² E.żadna z odp. A, B, C, D nie jest poprawna

rysunek w załączniku.

Zadanie 13. ( 2 pkt )

Punkt P = (1, –2) jest jednym z końców wysokości trójkąta równobocznego ABC. Wysokości tego trójkąta przecinają się w początku układu współrzędnych. Oblicz długość a boku tego trójkąta. Rozważ wszystkie przypadki.

A. $a=\frac{4\sqrt{15}}{9}\ \ \ lub\ \ \ a=\frac{7\sqrt{15}}{9}$

B. $a=\frac{4\sqrt{15}}{9}\ \ \ lub\ \ \ a=\frac{7\sqrt{15}}{9} \ \ \ lub\ \ \ a=\frac{11\sqrt{15}}{9}$

C. $a=\sqrt{15}\ \ \ lub\ \ \ a=2\sqrt{15}$

D. $a=\sqrt{15}\ \ \ lub\ \ \ a=2\sqrt{15}\ \ \ lub\ \ \ a=\frac{\sqrt{15}}{2}$

E. żadna z odp. A, B, C, D nie jest poprawna

Zadanie 14. ( 2pkt )

Funkcja ƒ przyporządkowuje każdej liczbie wymiernej większej od $-\frac{1}{5}$ i mniejszej od $-\frac{1}{8}$ połowę sześcianu tej liczby. Wskaż zdanie fałszywe.

A. Wszystkie wartości tej funkcji są liczbami ujemnymi.

B. Dana funkcja nie ma miejsc zerowych.
C. Każdy argument należący do dziedziny tej funkcji jest większy od $-\frac{1}{250}$ i mniejszy od $-\frac{1}{1024}$ .
D. Liczba $-\frac{3}{20}$ należy do dziedziny tej funkcji.
E. Każdy argument należący do dziedziny tej funkcji jest większy od $-\frac{1}{5}$ i mniejszy od $-\frac{1}{8}$ .

Liczę na profesjonalne opowiedzi. Bedzie najlepsza. Dziękuję ;)

PS Kolejna część serii za około tydzień.

cyfra

zadanie 1

$\left(2,5h + t\right)*x\frac{km}{h}= \left(1\frac{36}{60}h + t\right)*y\frac{km}{h}\\ \left(2\frac{1}{2}h + t\right)*x= \left(1\frac{6}{10}h + t\right)*y\\ \left(25h + 10t\right)*x= \left(16h + 10t\right)*y\\ 25h*x - 16h*y = 10t(y - x)\\ t = \frac{25x - 16y}{y - x}h\\ t_x = 2\frac{1}{2}h + \frac{25x - 16y}{y - x}h\\ t_y = 1\frac{6}{10}h +\frac{25x - 16y}{y - x}h$

zadanie 2

będzie to trójkąt równoboczny o boku długości:

$a = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}\\ \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{14}{9}*\sqrt{3}}{4} = \frac{7\sqrt{3}}{18}$

zadanie 3
$(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 2008^2 +2009^2) - (1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + 2007*2009 + 2008*2010) = 1*(1 - 3) + 2*(2 - 4) + 3*(3 - 5) + ... + 2007*(2007 - 2009) + 2008(2008 - 2010) + 2009^2 = -2*(1 + 2 + 3 + .. + 2007 + 2008) + 2009^2 = -2*\frac{1 + 2008}{2}*2008 + 2009^2 =2009^2 - 2009*2008 = 2009(2009 - 2008) = 2009$

zadanie 4
okej - skojarzyłaś z ciągiem Fibonacciego?

zadanie 5

Wystarczy obliczyć różnicę pól dwóch trójkątów prostokątnych:

$1^2*\frac{1}{2} - \left(\sqrt{2} - 1\right)^2*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(1 - 2 + 2\sqrt{2} -1\right) = \sqrt{2} - 1$

odp.: A

zadanie 6

a - liczba utworzona przez dwie pierwsze naszej liczby (10a + 2)

$10a+2 = 200 + a + 36\\ 9a = 234\\ a = 26\\ 10a + 2 = 262\\2 + 6 + 2 = 10$

odp.: B

zadanie 7

okej, ale wystarczy jedno równanie

zadanie 8

oczywiście prosta prostopadła do stycznej do okręgu B w punkcie styczności B i A przechodzi przez środki tych okręgów (bo dana styczna jest styczna do nich obu), analogicznie dla A i C

$L = |AB| +|BC| +|AC| = (r - r_b) + (r_b + r_c) + (r - r_c) = 2r$

odp.: B

zadanie 9

brak załącznika

zadanie 10

pierwsza: ( $(k - m)^2= \left((-1)*(m - k)\right)^2 = (-1)^2*(m - k)^2 = (m - k)^2$

analogicznie trzecia jest poprawna, a czwarta nie jest

trzecia nie bo m = k = 1

odp.: B

zadanie 11

x - najczęstyszy wiek

y - liczba uczniów

$x*(y - 3) + (x + 1)*2 + (x - 1)*1 = 208\\ xy = 207\\ 207 = 1*3*3*23$

z rozkładu na czynniki oraz logiki (23 lata to dużo jak na klsę szkolną)) mamy odpowiedź E

zadanie 12

mamy tutaj dwie połowy trójkąta równobocznego o boku 12:

$\frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$

odp.: E

zadanie 13

wiemy, że punkt przecięcia wyskości dzieli je w stosunku 2:1 czyli mamy dwie możliwości:

$|AO| = \sqrt{(1 - 0)^2+ (-2 - 0)^2} = \sqrt{5}\\ \\ \sqrt{5} = \frac{1}{3}h_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{6}\\ a_1 = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{15}\\ \\ \sqrt{5} = \frac{2}{3}h_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{3}\\ a_2 = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \sqrt{15}$

odp.: C

zadanie 14

$f(x) = \frac{x^3}{2}$

a - prawda bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny a iloraz ujemnej przez dodatnią również jest ujemny

b - prawda bo iloraz przez liczbę dodatnią jest 0 wtedy i tylko wtedy gdy dzielna jest 0, a sześcian równy 0 ma tylko 0, ktore nie należy do dziedziny

c - nie prawada, bo elementy dziedziny są znane (sprawdź, czy jest dobrze przepisane)

d - nie

$\frac{x^3}{2} = -\frac{3}{20}\\ x^3 = -\frac{3}{10} = - \frac{30}{100}\\ x = -\frac{\sqrt{30}}{10} < -\frac{\sqrt{25}}{10} = -\frac{1}{2}< -\frac{1}{5}$