Question

Geometria Elementarna. Zadanie z załącznika.

Proszę o dokładne opisy co się skąd wzieło.

Answer 1

To znaczy rozważamy zbiory punktów dla których
dla różnych
Gdy
A punktami równoodległymi od dwóch punktów jest symetralna odcinka PQ.
Niech teraz
Oczywiście istnieje (dokładnie jeden) punkt A na odcinku PQ spełniający PA = cQA
Załóżmy, że istnieje jakiś punkt X nienależący do prostej PQ spełniający założenie.
Rozważmy trójkąt PQX, z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie mamy
A zatem punkt A również spełnia to założenie.
Ponadto z twierdzenia o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie PQX mamy

Zatem B również należy do szukanego zbioru.
Ponadto , a zatem X leży na okręgu o średnicy AB (z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym).
Pokażmy dla formalności jeszcze, że dla żadnego punktu spoza tego okręgu nie zachodzi
Załóżmy, że istnieje taki punkt Y i możemy powtórzyć rozumowanie, co prowadzi do sprzeczności z istnieniem dokładnie jednego takiego punktu na odcinku PQ. A zatem zbiór tych punktów dla jest okręgiem, który możemy skonstruować w taki sposób, znajdując dwa punkty na prostej PQ dla której zachodzi założenie i skonstruować okrąg
Przy okazji okrąg ten nazywamy okręgiem Apoloniusza.