F(x)= \sqrt{5-|2x-3|} f(x)= \sqrt{|x|-1}wyznacz Df.... Question from @dwwozniak19

November 2018 1 70 Report

F(x)= \sqrt{5-|2x-3|}

f(x)= \sqrt{|x|-1}

wyznacz Df

RavGirl $f(x)= \sqrt{5-|2x-3|}$
Pod pierwiastkiem kwadratowym może znajdować się tylko liczba nieujemna. Musimy więc zrobić założenie, że:
$5-|2x-3| \geq 0$
Rozwiązujemy:
$|2x-3| \leq 5$
Stąd mamy dwie możliwości, 2x-3 <0 (wtedy zmieniamy znak), lub 2x-3 >= 0 (wtedy opuszczamy wartość bezwzględną):
1. zał. $2x-3 < 0$ , czyli $x < \frac{3}{2}$ .
Zmieniamy znak tego co w module:
$-2x + 3 \leq 5$
$-2x \leq 2$
$x \geq -1$
W tym przypadku mamy więc założenie, że $x< \frac{3}{2}$ oraz z równania wyszło, że $x \geq -1$ , a więc: $x \in <-1, \frac{3}{2})$

2. zał. $2x-3 \geq 0$ , czyli $x \geq \frac{3}{2}$ .
Opuszczamy moduł:
$2x-3 \leq 5$
$2x \leq 2$
$x \leq 1$
W tym przypadku mamy założenie, że $x \geq \frac{3}{2}$ oraz z równania wyszło, że $x \leq 1$ . Czyli w tym przypadku mamy zbiór pusty.

Po połączeniu obu przypadków otrzymujemy dziedzinę funkcji f: $D_f = <-1, \frac{3}{2})$

$f(x)= \sqrt{|x|-1}$
Ponownie musimy się upewnić, że pod pierwiastkiem jest liczba nieujemna, czyli, że
$|x|-1 \geq 0$ .
Rozwiązujemy dla dwóch przypadków:
1. zał. $x \geq 0$
Opuszczamy moduł:
$x-1 \geq 0$
$x \geq 1$
Z założenia i z równania wynika, że w tym przypadku $x \in <1, +\infty )$

2. zał $x<0$
Zmieniamy znak x:
$-x -1 \geq 0$
$x \leq -1$
Z założenia i z równania wynika, że $x \in (-\infty, -1>$

Ostatecznie, po połączeniu dwóch przypadków otrzymujemy: $D_f = (-\infty, -1> \cup <1, +\infty)$