Question

Funkcje !!!!!

Proszę o wytłumaczenie funkcji od podstaw(wliczając dziedzinę i miejsce zerowe).

Do każdego tłumaczenia przynajmniej 3 przykłady.

Potrzebuję na dziś do 21.

Answer 1

szkoda,że nie napisałaś o jaką funkcję chodzi;

Funkcja to takie przyporządkowanie, w którym kazdemu elementowi x ze zbioru X przyporzadkowany jest JEDEN I TYLKO JEDEN element y ze zbioru Y.

 

x [ iksy] to argumenty,

zbiór iksów to DZIEDZINA FUNKCJI

y [ igreki] to wartośc funkcji

zbiór igreków to ZBIÓR WARTOŚCI FUNKCJI

1]

FUNKCJA LINIOWA;[ wykresem jest linia prosta]

postać ogólna;

y=ax+b

a to współczynnik kierunkowy

b to wyraz wolny

np. y=2x+5

czyli ;

a=2

b=5  te b ma duże znaczenie, bo patrząc na b, wiesz, przez który punkt na osi Y przechodzi wykres, więc w układzie współrzędnych możesz zaraz zaznaczyć na osi Y punkt 5

 

aby wiedzieć, w którym miejscu funkcja przecina oś X, obliczasz miejsce zerowe

MIEJSCE ZEROWE TO TAKI x, DLA KTÓREGO Y=0

więc u ciebie;

Mz=2x+5=0  obliczasz zwykłe równanie ;   2x=-5

x=-5;2

x=-2,5   na osi X zaznaczasz ten punkt, łaczysz te 2 zaznaczone punkty i masz gotowy wykres

 

te ,, a ,, ma duże znaczenie

gdy a>0  wtedy funkcja jest rosnaca[ czyli iksy rosną i igreki rosną]

dgy a<0  wtedy jest malejaca, czyli iksy rosną a igreki maleją

gdy a=0, wtedy funkcja jest stała [ jest równoległą prostą do osi X]

 

wiecej przykładów nie trzeba

 

jesli masz polecenie;

podaj wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy, lub prostopadły do danej prostej to;

a] ma być równoległy np. do prostej;

y=2x+1   i przechodzic np. przez punkt P=(4,6)

jeśli ma być RÓWNOLEGŁY  to musi miec to sam,o   ,, a,,

czyli piszesz wzór ogólny prostej;

y=ax+b   ale juz znasz te ,, a,, więc:

y=2x+b

 

teraz współrzwedne P podstawiasz pod to równanie

 

P=(4,6)

ta 4 to x

ta 6 to y

 

6=2*4+b  wyliczasz b

b=6-8=-2

i gotowe, podstaw te b

 

y=2x-2

..............

b] jesli ma być prostopadły to ,, a,, musi być liczbą PRZECIWNĄ I ODWROTNĄ

wiec a=-½

dalej tok jak wyżej,

 

y=ax+b

y=-½x+b

6=-½*4+b

b=6+2=8

 

y=-½x+8

.............

 

 

2]

anając współrzedne 2 punktów napiszesz wzór funkcji;

 

np.

A=(2,4)

B=(3,6)

 

TWORZYSZ UKŁAD RÓWNAŃ PODSTAWIAJAC WSPÓŁRZEDNE DO RÓWNANIA OGÓLNEGO;P

 

y=ax+b

 

4=2a+b

6=3a+b    wyciagasz b i podstawiasz

 

b=4-2a

6=3a+4-2a

 

a=6-4

a=2

............

b=4-2×2=0

piszesz równanie prostej przechodzacej przez te 2 punkty;

y=2x+0

y=2x

...............

3] funkcja kwadratowa

postać ogólna;

y=ax²+bx+c

 

a to współczynnik kierunkowy , ma OGROMNE ZNACZENIE, ale to sama zobaczysz potem

a] dziedzina to R

zbiór wartości;

zależy od ,, a,, :

a] dla a> 0 to przedział : y∈ < -Δ/4a;+∞)

b]dla a<0 to przedział  y∈(-∞;-Δ/4a>

 

Δ to WYRÓŻNIK Δ=b²-4ac

np.;

y=2x²-3x-6

a=2

b=-3

c=-6

Δ=(-3)²-4*2*(-6)=9+48=57

 

MONOTONICZNOŚĆ[ czyli określenie, czy jest rosnaca, czy malejaca]

zależy znów od ,,a,,

a;

dla a>0 funkcja jest rosnaca dla x∈ <-b/2a;+∞), a malejaca dla x∈(-∞;-b/2a>

b]

dla a<0 jesdt rosnaca dla x∈)(-∞;-b/2a> a malejaca dla x∈<-b/2a;+∞)

 

wykresem jest PARABOLA

 

miejscem przeciecia wykresu z osią Y jest punkt(0;c)

zaś miejsc przeciecia z osią X może nie być wcale, może być 1 lub 2.

 

to zależy od delty

a) Δ<0 parabola nie przecina osi X

b] Δ=0 przecina w 1 punkcie o współrzednych (-b/2a  ; 0)

c] Δ> 0 wykres przecina oś X w 2 miejscach, to są miejsca zerowe, , te punkty, maja współrzędne( (-b-√Δ)/2a  ;0)  i  ([(-b+√Δ)/2a  ; 0)

 

wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(-b/2a   ; -Δ/4a)

cdn

np. oblicz współrzędne wierzchołka paraboli:

y=2x²-4x+1

-b/2a=4/4=1

Δ=b²-4ac=16-8=8

 

-Δ/4a=-8/8=-1

W=(1;-1)

 

wartości dodatnie i ujemne funkcji kwadratowej zależą od ,, a ,, i od delty

1]

gdy a>0 i Δ<0 funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x∈R i nie przyjmuje wartości ujemnych

2] gdy a>0 i Δ>0 przyjmuje wartości dodatnie dla x∈(-∞; x₁) lub (x₂;+∞), a ujemne dla x∈(x₁;x₂)

przy czym x₁ i x₂ to m-ca zerowe, o których pisałam ci wyżej

c] gdy a<0 i Δ<0 przyjmuje wartości ujemne dla x∈R i nie przyjmuje dodatnich

d] gdy a<0 i Δ=0 nie przyjmuje dodatnich, a ujemne dla x∈R

e] gdy a<0 i Δ=0 przyjmuje dodatnie dla x ∈(x₁;x₂), a ujemne dla x∈(-∞;x₁) lub (x₂;+∞)

 

NAJWIEKSZA I NAJMNIEJSZA WARTOŚC

 

a] gdy a>0 wtedy wartością najmniejszą  jest y=-Δ/4a i nie przyjmuje wartości najwiekszej

b] gdy a<0 nie przyjmuje najmniejszej, za to najwieksza =y=-Δ/4a

 

postaci funkcji kwadratowej;

 

1] KIERUNKOWA;

y=ax²+bx+c

2] KANONICZNA

obliczasz p i q

p=-b/2a

q=-Δ/4a

 

y=a(x-p)²+g

 

np. y=2x²-4x-6

 

p=-b/2a=4/4=1

Δ=16+48=64

q=-Δ/4a=-64/8=-8

 

podstawiasz;

 

y=2(x-1)²-8

aby przekształcić postać kanoniczną na kierunkową, wystarczy wymnożyć nawias, np.

 

y=2(x-3)²+1

y=2(x²-6x+9)+1

y=2x²-12x+18+1

y=2x²-12x+19  i już gotowe

 

znając współrzędne wierzchołka utworzysz postać kanoniczną, np.

 

podaj wzór funkcji y=x²+bx+c w postaci kierunkowej jeśli W=(1;-4)

 

twoje a=1 [ bo przy x² jest 1]

 

piszesz postać kanoniczną;

y=a(x-p)²+q

y=(x-1)²-4  liczysz

y=x²-2x+1-4

y=x²-2x-3  i gotowy wzór

3] POSTAĆ ILOCZYNOWA [ mozesz ją przedstawić tylko gdy Δ≥0)

 

y=a(x-x₁)(x-x₂)   x₁ i x₂ to m-ca zerowe

gdy Δ=0, wtedy postać iloczynowa wyglada tak;

y=a(x-x₀)²

przy czym x₀=-b/2a

 

np. przedstaw wzór w postaci iloczynowej [ możesz to uczynić też znając m-ca zerowe]

y=2x²-6x+1

a=2

Δ=36-8=28

√Δ=2√7

x₁=[-b-√Δ]/2a=[6-2√7]/4=[3-√7]/2

x₂=[3+√7]/2

 

y=a(x-x₁)(x-x₂)

y=2[x-3-√7)/2] [ x-(3+√7)/2]

jeśli są jakieś pytania, czy może inny zakres materiału, pisz, dopiszę i wyjaśnię