Question

Funkcja kwadratowa jest malejąca w przedziale i rosnąca w przedziale . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k: y = 4x – 8.
a) Wyznacz współczynniki b i c trójmianu.
b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
c) Rozwiąż nierówność

Proszę o staranną odpowiedź. Wiem że zadanie to już gdzieś znajduje się w serwisie, lecz nie rozumiem jego rozwiązania, dlatego proszę o świeży i możliwie najbardziej klarowny zapis.

Answer 1

Pierwsza wspolrzedna wierzcholka p, to  x=1 (os symetrii paraboli). Skoro wierzcholek nalezy do prostej y=4x-8, to druga wspolrzedna wierzcholka obliczymy podstawiajac za x=1, y=-4
p=1
q=4*1-8=-4
W=(1,-4)
Zanmy juz wartosci a=1, p=1, q=-4 podstawiamy do postaci kanonicznej trojmianu kwadratowego i po przeksztalceniu do postaci ogolnej wyznaczamy b i c.




Szkice parabol w zalaczniku

Answer 2

a)
Funkcja kwadratowa jeśli a > 0 jest rosnąca w przedziale <p; + ∞) i malejąca w przedziale (- ∞; p>, gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka W = (p; q) paraboli oraz

Z informacji, że funkcja jest malejąca w przedziale (- ∞; 1> i rosnąca w przedziale <1; - ∞) wynika, że , stąd:


Zatem:
f(x) = x² - 2x + c

Wiemy, że wierzchołek W = (p; q) = (1; q) należy do prostej k: y = 4x – 8, a to oznacza, że jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, stąd:
y = 4x – 8
q = 4 · 1 - 8
q = 4 - 8
q = - 4

Współrzędne wierzchołka W = (1; - 4) paraboli spełniają jej równanie:
f(x) = x² - 2x + c
- 4 = 1² - 2 · 1 + c
1 - 2 + c = - 4
- 1 + c = - 4
c = - 4 + 1
c = - 3

Zatem:
f(x) = x² - 2x - 3

Odp. b = - 2, c = - 3

b)


Odp. Miejsca zerowe to liczby - 1 i 3.

c)


Zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a = 1 > 0 i z wykresu odczytujemy zbiór tych argumentów x, dla których wartości są mniejsze lub równe zero, zatem:


Odp.