Question

Funkcja kwadratowa, dam naj!
Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze półkolem. Jaka powinna być podstawa prostokąta, aby przy obwodzie okna wynoszącym 2m powierzchnia okna była największa

Answer 1

x - szerokość okna
 y - wysokośc okna
 1/2x=x/2 - promień półkola
  x + 2y + (π/2) x = 2   - obwód okna
 [1 + π/2] x = 2y = 2
 2y = 2 - [ 1 + π/2] x  / : 2
 y = 1 - [(1/2) + π/4] x
 y =  1 - [(2 + π)/4] x
Pole powierzchni okna ;
P = x*y + (1/2)*π *(x/2)² =
x*[ 1 - ((2+π)/4( x ] + (π/8) x² =
 = (π/8) x² -[(4 + 2π)/8]x² + x
=  -[(4+π)/8] x² + x =
 = x*[ 1 - ((4 +π)/8)x ]
 x = 0  lub  1 - ((4+π)/8)x = 0
 x = 0 lub [ (4 +π)/8] x = 1
 x = 0  lub  x = 1 : [(4 + π)/8]
 x = 0  lub  x = 8/(4 +π)
czyli x1 = 0   ; x2 = 8/(4 +π) Ponieważ współczynnik  przy x² jest ujemny , zatem  funkcja P(x) osiąga wartosc maksymalną dla x = p = [x1 +x2]/2 = 4/(4 + π)
 Odp. Aby powierzchnia okna była największa , przy obwodzie równym 2 m, jego szerokość musi być równa 4/( 4 + π)  m  ≈ 0,56 m.