Question

FUNKCJA HOMOGRAFICZNA!

Pilnie proszę o wyjaśnienie FUNKCJI HOMOGRAFICZNEJ, w postaci ogólnej i kanonicznej, jak liczyć poszczególne podpunkty tj. dziedzinę, zbiór wartości, monotoniczność, asymptoty i znak funkcji. Jak zrobić wykres funkcji?

Proszę o wytłumaczenie z PRZYKŁADAMI.

Bardzo pilne! Potrzebuje tego do zaliczenia z matematyki, więc bardzo proszę o pomoc!

Answer 1

należy zacząc od funkcji wymiernej;

1]

funkcja wymierna to funkcja postaci f(x)=a/x  przy czym a≠0 i x≠0

wykresem takiej funkcji jest hiperbola

hiperbola składa sie z 2 gałezi

wykres takiej funkcji zbliża się do prostej pionowej x=0 i prostej poziomej y=0.  O TAKICH PROSTYCH, DO KTÓRYCH SBLIŻA SIE WYKRES MÓWIMY, ŻE SA ASYMPTOTAMI FUNKCJI.

proste poziome to asymptoty poziome, a proste pionowe, to asymptoty pionowe

np. masz funkcję f(x)=1/x   ma ona takie własnosci;

a] dla x<0 funkcja przyjmuje wartości ujemne, dla x>0 dodatnie

b] nie ma m-c zerowych

c] dla a>0 funkcja jest malejaca w przedziale (-∞;0) i (0,+∞)

dla a<0 funkcja jest rosnaca w takich przedziałach

2]

jesli masz taki przykład; f(x)=1/x    +2

tzn. że wykres funkcji 1/x przesunieto o 2 jednostki w górę, czyli aby narysować wykres takiej funkcji, rysujesz wykres funkcji 1/x i przesuwasz go o 2 jednostki w górę, ale uwaga, przesunieciu ulega też asymptota

dla funkcji f9x)=1/x asymptotami są proste ; x=0 i y=0, teraz wykres przesunął sie o 2 jednostki w góre, czyli asymptota pozioma y=0 uległa przesunięciu o 2 w górę i wynosi y=2, wykres nie przesunął sie ani w prawo, ani w lewo, czyli asymptora x=0 pozostaje bez zmian

ale uwaga, zmienił się zbiór wartości teraz on = (-∞;2) lub (2;+∞) zawsze w zbiorze wartości masz takie 2 nawiasy, a liczba jest taka, jaka jest asymptota pozioma, czyli y, uwaga, dziedzina się nie zmieniła dalej D=R/(0)

3] drugi przykład; f(x)=1/(x-3)

jeśli w mianowniku przy iksie masz liczbę, tzn, ze wykres 1/x uległ przesunieciu w lewo lub w prawo, w twoim przypadku w prawo o 3 jednostki, ale uwaga, przesunieciu uległa też asymptota pionowa i teraz wynosi ona x=3, ale teraz uwaga zmienia się dziedzina

bo w mianowniku masz x-3, czyli x-3≠0, więc D=R/(3), asymptota pozioma nie ulega zmianie i wynosi nadal y=0

4]

teraz funkcja homograficzna

to funkcja postaci f(x)= (ax+b)/(cx+d)

wykresem jest też oczywiscie hiperbola

aby narysować wykres należy zapisać te funkcje w postaci KANONICZNEJ, CZYLI W POSTACI ; F(X)= a/(x-p)    +q

a] jak określamy dziedzinę;

po prostu D=R/(p)

b]jak określamy zbiór wartości ;

po prostu ZW=(-∞;q) lub (q;+∞)

np. f(x)=1/(x-2)   -3

D= R/(2)

zw= (-∞;-3) lub (-3+∞)

a>0, czyli funkcja jest malejaca dla (-∞;2) i (2,+∞)

asymptotą pionową jest  p. czyli x=2

asymptotą pozioma jest q, czyli y=-3

UWAGA;

punkt (2,-3) jest srodkiem symetrii wykresu, czyli punktem przeciecia sie asymptot wykresu

5]

teraz pokaże ci jak przekształcamy wzory do postaci kanonicznej, postac taka jest niezbedna do rysowania wykresu:

a] np. y=(x+2)/x

rozbijasz licznik na 2 ułamki i masz; y=x/x   +2/x= 2/x   +1 i gotowe

b] np. y=(x+5)/(x+1) przedstawiasz licznik jako to, co jest w mianowniku, czyli ; y= (x+1+4)/(x+1)= teraz rozbijasz na ułamki ;

(x+1)/(x+1) + 4/(x+1)=4/(x+1)(  +1

po prostu chodzi o to, aby doprowadzić do postaci y= a/(x-p)  +g, bo z tego łatwo wszystko odczytujesz

c]

y=(5x+4)/(x-1)

wpisujesz mianownik do licznika i uzgadniasz licznik =

y= [5(x-1) +5+4]/(x-1)  te +5 wzięło się stad, ze z mnozenia 5(x-1) bedzie 5x-5, a było tylko 5x, czyli te 5 musimy odjac

y=[5(x-1)+9]/(x-1)=5(x-1)/(x-1)   + 9/(x-1)=9/(x-1)+5

d]

np. y=(6x-4)/(2x+1)

dzielimy licznik przez mianownik

y=(6x-4)/(2x+1)=[3(2x+1)-7]/(2x+1)=3(2x+1)/(2x+1)  - 7/(2x+1)= -7/(2x+1)+3

ale w mianowniku nie może być te 2x, czyli dajemy 2 przed nawias:

y=(2* -7/2)/[2(x+1/2)   +3=-3,5/(x+1/2) +3

6]

okreslanie znaku funkcji;

to napisanie, że dla np. argumentów ujemnych przyjmuje wartości ujemne lub dodatnie, a dla dodatnich jakie?,

np. y=1/x, czyli dla argumentów dodatnich przyjmuje wartosci dodarnie, dla ujemnych ujemne

np. y=-1/x, czyli dla argumentów ujemnych przyjmuje wartości dodatnie, a dla dodatnich ujemne