Question

Fajne zadanie:

Łatwo sprawdzić, że różnica między średnią arytmetyczną i geometryczną liczb 2 i 8 wynosi 1 (4 i 5). Podaj parę liczb (a,b), dla których ta różnica wynosi 3. Ile rozwiązań ma to zadanie?

Answer 1

a, b  - szukane liczby

( a + b)/2 - p( a*b) = 3    / *2

a + b - 2 p(a*b) = 6

a + b - 6 = 2 p(a*b)  ; podnosimy obustronnie do kwadratu

( a + b)^2 - 12*( a + b) + 36 = 4a*b

a^2 + 2 a*b + b^2 - 4 a*b = 12 *( a + b) - 36

a^2 - 2 a*b + b^2 = 12 *( a + b - 3)

( a - b)^2 = 12 *( a + b - 3)

( a - b)*(a - b) = 12* ( a + b - 3)

czyli

a - b = 12

a - b = a + b - 3

-----------------------

a = 12 + b

2 b = 3

-------------

b = 1,5

a = 12 + 1,5 = 13,5

-------------------------

 

Ponieważ   a + b = b + a   oraz  a*b = b*a

mamy rozwiązania:

a = 13,5 ,  b = 1,5

a = 1,5 ;    b = 13,5

====================

spr. ( 13,5 + 1,5)/ 2  - p( 13,5 * 1,5) = 15/2 - p( 20,25) =

= 7,5 - 4,5 = 3

------------------

 

p( 20,25)  - pierwiastek kwadratowy z 20,25