Tylko jeden przykład - dużo punktów, okazja ;)Nikt w klasie II liceum z rozszerzoną matematyką nie m.... Question from @nivellen

$(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x+(\sqrt{5-\sqrt{24}})^x=10\\ ((\sqrt{5+\sqrt{24}})^x)^2+2(\sqrt{5+\sqrt{24}})^x*(\sqrt{5-\sqrt{24}})^x+((\sqrt{5-\sqrt{24}})^x)^2=100\\ (5+\sqrt{24})^x+2(\sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})})^x+(5-\sqrt{24})^x=100\\ (5+\sqrt{24})^x+2(\sqrt{25-24})^x+(5-\sqrt{24})^x=100\\ (5+\sqrt{24})^x+(5-\sqrt{24})^x=98\ //*(5+\sqrt{24})^x\\ (5+\sqrt{24})^{2x}+(5-\sqrt{24})^x*(5+\sqrt{24})^x=98(5+\sqrt{24})^x\\ (5+\sqrt{24})^{2x}+1-98(5+\sqrt{24})^x=0\\ t=(5+\sqrt{24})^x\\ t^2+1-98t=0\ =>\ t^2-98t+1=0\\ delta=98^2-4=9600\\ t_1=\frac{98-40\sqrt6}2=49-20\sqrt6 \\t_2=\frac{98+40\sqrt6}2=49+20\sqrt6\\$

Czyli w skrócie: podnosimy obustronnie do kwadratu, upraszczamy ile sie da(z podwójnego iloczynu wychodzi ładna równa dwójeczka bez niewiadomych), jak już poupraszczaliśmy wszystko, mnożymy przez to, co podałem po //, wstawiamy zmienną pomocniczą. Przyrównujemy do t_2 i t_1: $t_1=(5+\sqrt24)^x\\ 49-20\sqrt6=(5+2\sqrt6)^x\\ 25-2*5*2\sqrt6+24=(5+2\sqrt6)^x\\ (5-2\sqrt6)^2=(5+2\sqrt6)^x\\ \frac{(5-2\sqrt6)^2*(5+2\sqrt6)^2}{(5+2\sqrt6)^2}=\frac1{(5+2\sqrt6)^2}=(5+2\sqrt6)^x \\x=-2\\ t_2=(5+\sqrt24)^x\\ 49+20\sqrt6=(5+2\sqrt6)^x\\ 25+2*5*2\sqrt6+24=(5+2\sqrt6)^x\\ (5+2\sqrt6)^2=(5+2\sqrt6)^x\\ x=2$

1 votes Thanks 0

Wyznacz liczby całkowite a, b i c tak, aby prawdziwa była równość

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social