Question

Bardzo proszę o rozwiązanie i dokładne wytłumaczenie poniższego zadania:

Cztery księżyce Jowisza odkryte przez Galileusza w styczniu 1610 roku to Io, Europa, Ganimedes i Kallisto. Okresy ich obiegu wyrażone w dniach są (po zaokrągleniu do pierwszego miejsca po przecinku) odpowiednio równe 1,8; 3,6; 7,2; 16,7. Oblicz (w przybliżeniu) iloraz wartości sił dośrodkowych, którymi Jowisz działa na Io i Europę. Przyjmij, że masa Io jest dwa razy większa od masy Europy. [wynik z odpowiedzi do zadań: F Io/ F Europy ~ 5]

Z góry dziękuję :D

Answer 1

z 3 prawa keplera mamy:

r1/r2=(T1/T2)^(2/3)

przyśpieszenie dośrodkowe jest równe promień orbity razy prędkosć kątowa do kwadratu

a=r*n^2

prędkosć kątowa n = 2*pi/T

a=2*pi*r/T^2

 

zróbmy ze stosunku promieni orbity zrobic stosunek przyśpieszeń dośrodkowych:

r1/r2=(T1/T2)^(2/3) pomnóżmy przez (T2/T1)^2 (2pi pominiete bo się skróci)

a1/a2=(T1/T2)^(2/3-2)=(T1/T2)^(-4/3)=(T2/T1)^(4/3)

 

ponieważ siła to jest masa razy przyspieszenie F=m*a wiec przemnózmy powyższe równanie przez 2m/m=2

F1/F2=2(T2/T1)^(4/3)

 

no i podstawiamy dane:

F1/F2=2*(3,6/1,8)^4/3=5,039

Answer 2

dane;

Ti=1,8 dnia                            Te/Ti=2

Te=3,6 dnia

mi/me=2

Fi/Fe=?

Warunek ruchu księżyców wokół planety: siła dośrodkowa = sile grawitacj

mivi^2/ri=GMmi/ri^2

meve^2/re=GMme/re^2  po podzieleniu stronami :

Fi/Fe=mi/me * (re/ri)^2

 

Z prawa Keplera: re^3/Te^2=ri^3/Ti^2 czyli

re/ri=pierwiastek trzeciego stopnia z(Te/Ti)^2=pirr....(2)^2=1,587

podstawiając do

Fi/Fe=2 * (1,587)^2=2 * 2,52=5,04