Question

En un examen hay que contestar 2 preguntas elegidas al azar entre 15. un estudiante solo sabe responder 8 de las 15 preguntas. halla la probabilidad de que el estudiante:

a- sepa responder las dos preguntas
b- solo sepa responder una de las preguntas
c- responda mal las dos preguntas

Answer 1

Ley general de las probabilidades:
Probabilidad de que ocurra un suceso dentro de un experimento se expresa como el cociente entre casos favorables dividido entre los casos posibles.

Para tu ejercicio, los casos posibles serán todos los pares de preguntas que se pueden formar entre las 15 del examen.

Eso son COMBINACIONES DE 15 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2
(no son variaciones porque no importa el orden para distinguir entre dos combinaciones distintas, es decir, si sale la pregunta "a" y la pregunta "b" es lo mismo que al revés: que salga la pregunta "b" y la pregunta "a")
C(₁₅,₂) = 105 casos posibles.

Vayamos ahora a las cuestiones planteadas:
a ---> que sepa responder las dos preguntas.
Eso significará que las dos preguntas han salido dentro del grupo de las 8 que sabe responder.

Por tanto, como casos favorables tendremos todos los pares de preguntas que puedan formarse entre esas 8. Veamos de nuevo la combinatoria:

COMBINACIONES DE 8 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2
C(₈,₂) = 28 casos favorables.

Probabilidad para el apartado a) = 28/105 ... simplificando al dividir todo entre 7 nos queda = 4/15

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b ---->  que solo sepa responder una de las preguntas.
Eso ocurrirá siempre que salga una pregunta dentro del grupo de las 8 que conoce y otra dentro del grupo de las 7 restantes que no conoce.
Por tanto, para saber cuántas formas hay de emparejar esos dos grupos no hay otro modo que con el producto de los mismos:
Casos favorables = 8×7 = 56 casos favorables.

Probabilidad para el apartado b) = 56/105 ... simplificando = 8/15

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c----> que responda mal las dos preguntas.
Obviamente nos estamos centrando ahora en que las preguntas que le salgan estén dentro del grupo de las 7 que no conoce. Veamos sus combinaciones:

C(₇,₂) = 21 casos favorables.

Probabilidad para el apartado c) = 21/105 ... = 3/15

Nota: Date cuenta que entre los tres casos pedidos hemos cubierto TODAS las posibilidades ya que al efectuar la suma de fracciones nos sale el total de ellas, es decir 15/15

Saludos.