Oblicz sin x i cos x, jeśli:a) sin 2 x = ¹²/₁₃ i x ∈ (π ; ³/₂π)b)sin x+ cos x = 3√5/5 i x ∈ (½π ; π).... Question from @Danc30123

Danc30123 @Danc30123

October 2018 1 1K Report

Oblicz sin x i cos x, jeśli:

a) sin 2 x = ¹²/₁₃ i x ∈ (π ; ³/₂π)

b)sin x+ cos x = 3√5/5 i x ∈ (½π ; π)

c)cos (x+¼π) =√5/5 i x ∈(π ; ³/₂π)

antekL1

Zapisujemy sin 2x jako 2 sin x cos x, podnosimy obie strony do kwadratu:

$4\sin^2x\cdot\cos^2x = \frac{144}{169}$

Korzystając z "jedynki trygnometrycznej" dostajemy:

$4\sin^2x\cdot(1-\sin^2x) = \frac{144}{169}$

Wymnażamy nawias, zastępujemy kwadrat sinusa przez y

4y(1-y) = 144 / 169 ; stąd mamy równnanie kwadratowe:

4y^2 - 4y + 144 / 169 = 0 ; rozwiązaniami są:

y1 = 4 / 13 ; y2 = 9 / 13. Są to kwadraty sin x więc sinus wynosi (pamiętamy, że kąt ma należeć do III ćwiartki układu więc sinus i kosinus są ujemne)

$\sin x_1 = -\sqrt{\frac{4}{13}}\qquad \sin x_2 = -\sqrt{\frac{9}{13}}$

Ponownie korzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy kosinusy:

$\cos x_1 = -\sqrt{1-\frac{4}{13}} = -\sqrt{\frac{9}{13}} \qquad \cos x_2 = -\sqrt{1-\frac{9}{13}} =-\sqrt{\frac{4}{13}}$

==================================

Przykład (b) robimy analogicznie, podnosząc obie strony do kwadratu, zastępując sumę kwadratów sinusa i kosinusa przez 1, przenosząc 1 na prawą stronę - i ponownie mamy równanie

4y^2 - 4y + 4/5 = 0; co daje dwa rozwiązania:

$y_1 = \frac{1}{10}(5-\sqrt{5})\qquad y_2 = \frac{1}{10}(5+\sqrt{5})$

Ponieważ 'x' jest teraz w II ćwiartce to sinus jest dodatni, kosinus ujemny

$\sin x_1 = \sqrt{\frac{1}{10}(5-\sqrt{5})}\qquad\sin x_2 = \sqrt{\frac{1}{10}(5+\sqrt{5})}$

I odpowiednio:

$\cos x_1 = -\sqrt{\frac{1}{10}(5+\sqrt{5})}\qquad\cos x_2 = -\sqrt{\frac{1}{10}(5-\sqrt{5})}$

============================

Ten tekst robi się nieco za długi, może zgłoś (c) odzielnie.

Albo spróbuj, wychodząc z zależności:

$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \cos x\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) -\sin x\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) =$

$= \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x - \sin x) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Dzielimy obie strony przez pierwiastek(2) / 2 i mamy sytuację bardzo zbliżoną do (b), czyli ponownie obie strony do kwadratu, przenosimy 1 na prawo, ponownie do kwadratu i ta sama sztuczka z 'y' co poprzednio.

============================