Dwóch egzaminatorów, pracując jednocześnie, sprawdziło wszystkie testy w ciągu 12 godzin. Gdyby najp.... Question from @Tskaylo13

December 2018 1 144 Report

Dwóch egzaminatorów, pracując jednocześnie, sprawdziło wszystkie testy w ciągu 12 godzin. Gdyby najpirw pierwszy egzaminator sprawdził połowę testów, a potem drugi - pozostałą część, praca zajęłaby im 25 godzin. Ile czasu zajęłoby samodzielne sprawdzanie wszystkich testów każdemu z egzaminatorów?

Roma X - czas potrzeby na sprawdzenie wszystkich testów przez 1 egzaminatora
y - czas potrzeby na sprawdzenie wszystkich testów przez 2 egzaminatora

W ciągu 1 h każdy z nich sprawdzi odpowiednio: $\frac{1}{x}, \ \frac{1}{y}$ testów.

Pracując razem w ciągu 1h sprawdzą $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} =\frac{y}{xy} + \frac{x}{xy}=\frac{y+x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$ testów

Wiemy, że pracując razem wszystkie testy sprawdzili w ciągu 12 h, czyli w ciągu 1h sprawdzili $\frac{1}{12}$ testów

Mamy zatem pierwsze równanie:
$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{12}$

Z drugiej informacji w zadaniu wynika, że na sprawdzenie połowy wszystkich testów egzaminatorzy potrzebują odpowiednio: $\frac{x}{2}, \ \frac{y}{2}$ czasu, a wtedy praca zajęłaby im 25 h, czyli mamy zatem drugie równanie:
$\frac{x}{2} +\frac{y}{2}=25$

Stąd otrzymujemy układ równań:
$\left \{ {{\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{12}} \atop {\frac{x}{2} + \frac{y}{2}=25 \ /\cdot 2}} \right. \\\\
\left \{ {{\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{12}} \atop {x +y=50}} \right. \\\\
\left \{ {{\frac{50}{xy} = \frac{1}{12}} \atop {x +y=50}} \right. \\\\
\left \{ {{xy = 600 \ /:x} \atop {x +y=50}} \right. \\\\
\left \{ {{y = \frac{600}{x}} \atop {x +y=50}} \right.$

$\left \{ {{y = \frac{600}{x}} \atop {x +\frac{600}{x}=50 \ /\cdot x}} \right. \\\\
\left \{ {{y = \frac{600}{x}} \atop {x^2 +600=50x}} \right. \\\\
\left \{ {{y = \frac{600}{x}} \atop {x^2 -50x+600=0}} \right.$

Rozwiążemy II równanie układu:
$x^2 -50x+600=0 \\\\
\Delta = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600= 2500-2400=100 \\\\
\sqrt{\Delta} =\sqrt{100}=10 \\\\
x_1= \frac{50 -10}{2}= \frac{40}{2} =20 \\\\
x_2= \frac{50 +10}{2}= \frac{60}{2} =30$

Stąd:
$\left \{ {{y_1 = \frac{600}{x_1}} \atop {x_1=20}} \right. \ \vee \left \{ {{y_2 = \frac{600}{x_2}} \atop {x_2=30}} \right. \\\\
\left \{ {{y_1 = \frac{600}{20}} \atop {x_1=20}} \right. \ \vee \left \{ {{y_2 = \frac{600}{30}} \atop {x_2=30}} \right. \\\\
\left \{ {{x_1 = 20}} \atop {y_1=30}} \right. \ \vee \left \{ {{x_2 = 30} \atop {y_2=20}} \right.$

Zatem, jeśli każdy z egzaminatorów sprawdzałby samodzielnie wszystkie testy, to jednemu zajęłoby to 20 godzin, a drugiemu 30 godzin.