Question

Długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Jaki warunek spełniać musi iloraz tego ciągu?

Answer 1

a,b,c  boki trójkąta

a1 = a,  a2 = b,  a3 = c

b/a = q

c/a = q²

 

b = a·q

c = a·q² 

q ≥ 1,  to  a ≤ b ≤ c

taki trójkąt istnieje, gdy:

a+b > c  /:a

a/a + b/a > c/a

1 + b/a > c/a

1 + q > q²

q²-q-1 < 0

Δ = (-1)²-4·1·(-1) = 1+4 = 5

√Δ = √5 

q1 = (1-√5)/2

lub

q2 = (1+√5)/2

Zatem q ∈ [1, (1+√5)/2]

 

Jezeli q <1, to  c ≤ b ≤ a, więc boki tworzą ciag geometryczny o ilorazie 1/q > 1, wtedy:

1/q ∈ [1, (1+√5)/2]  => q ∈ [1/(1+√5)/2] = [(√5-1)/2]

Odp. q ∈ [(√5-1)/2, (1+√5)/2]

Answer 2