Question

Dowody w algebrze. Poproszę o zadanie 2.

Answer 1

Z:a≥0,b≥0
T:a+4b≥4√ab/²
Dowód:
(a+4b)²≥16ab
a²+8ab+16b²≥16ab
a²+8ab-16ab+16b²≥0
a²-8ab+16b²≥0
(a-4b)²≥0, a to zawsze zdanie prawdziwe bo kwadrat kazdej liczby jest większy od0
b)Z:a≥0,b≥0
T: a+b/2≥√2ab
Dowód:
a+b/2≥√2ab/²
(a+b/2)²≥(√2ab)²
a²+ab+b²/4≥2ab
a²+ab-2ab+b²/4≥0
a²-ab+b²/4≥0
(a-b/2)²≥0 a to zawsze  zachodzi bo kwadrat liczby jest nieujemny
c)Z: a≥0,b≥0
T:√a(1/2√b-√a)≤b/16

1/2√b*a-√a*√a≤b/16
√ab/2-a≤b/16
√ab/2≤b/16+a/²
(√ab/2)²≤(b/16+a)²
ab/4≤b²/256+2*b/16*a+a²
ab/4≤b²/256+ab/8+a²
0≤b²/256+ab/8-ab/4+a²
0≤b²/256-ab/8+a²
0≤(b/16-a)²- cnd. bo kwadrat liczby jest zawsze nieujemny