Question

Dowiedź że liczba n^3+5n jest podzielne przez 6

Answer 1

Tu trzeba podstawic za n jakas liczbe, obliczyc i zobaczyc, czy mozna podzielic przez 6

2^3+5*2=8+10=18

18:6=3

Jesli inne liczby podstawic, to tez bedzie podzielna przez 6.

 

Daj najlepsze rozwiazanie, a dostaniesz zwrot 15 procent punktow.

Answer 2

n^3 + 5n   jest podzielne przez 6

------------------------------------

I. dla n = 1  mamy  1^3 + 5*1 = 1 + 5 = 6  czyli liczbę podzielną przez 6

ii. zakładamy, że  dla dowolnej liczby n  liczba n^3 + 5n  jest  podzielna przez 6 tzn.

n^3 + 5n = 6k

Wykażemy teraz ,że z tego założenia wynika, ze dla n +1  liczba

(n+1)^3 + 5*(n +1)  jest podzielna przez 6

 

(n+1)^3 = 5*(n +1) = (n +1)*(n^2 + 2n + 1) + 5*(n +1) =

= (n +1)*(n^2 +2n + 1 + 5) = n^3 +2n^2 +6n +n^2 +2n + 6 =

= [n^3 + 5n ] + [ 3 n^2 + 3n + 6] = 6k  + 3*[n^2 + n + 2]

Gdyby liczba n^2 +n + 2  była podzielna przez 2 , to liczba

6k + 3*[n^2 + n + 2]  byłaby podzielna przez 6 i mielibyśmy koniec dowodu.

==============

Wykażemy, że rzeczywiście liczba n^2 + n + 2 jest podzielna przez 2

I. Dla n = 1 mamy 1^2 +1 +2 = 4 czyli liczbę podzielną przez 2

II. zakładamy ,ze dla dowolnej liczby n  liczba n^2 +n + 2 jest podzielna

przez 2 , czyli n^2 +n +2 = 2s

Wykażemy teraz, ze z tego założenia wynika, ze również dla n +1

liczba (n+1)^2 + (n +1) + 2  jest podzielna przez 2

Mamy

(n +1)^2 +(n+1) + 2 = n^2 + 2n +1 + n + 3 =[ n^2 + n + 2] + [2n + 2] =

= 2s + 2n + 2 = 2*[s+n +1]  czyli liczba podzielna przez 2.

Na mocy indukcji matematycznej wykazaliśmy, że liczba

n^2 + n +2  jest podzielna przez 2 , czyli równocześnie, że liczba

n^3 + 5n  jest podzielna przez 6.

=================================