Question

Dowieść , ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x zachodzi nierówność.



1+ 2 x do potęgi 4 ≥ 2 x ³ + x ²


Proszę z wytłumaczeniem.

Answer 1

2x⁴-2x³-x²+1≥0
2x³(x-1)-(x²-1)≥0
2x³(x-1)-(x+1)(x-1)≥0
(x-1)(2x³-x-1)≥0
(x-1)(2x³-2x+x-1)≥0
(x-1)*[2x(x²-1)+(x-1)]≥0
(x-1)*[2x(x+1)(x-1)+(x-1)]≥0
(x-1)(x-1)(2x²+2x+1)≥0
(x-1)²(2x²+2x+1)≥0
Δ=2²-4*2<0
co nalezalo udowodnic
I nawias jest nieujemny (wyrazenie do potegi 2)
II nawias nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla kazdego x.