Question

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność
a^2+b^2+c^2+3 >= 2(a+b+c)

Answer 1

Zal: a,b,c ∈ R
Teza: a²+b²+c²+3>=2(a+b+c)
Dowod:
Przeksztalcmy teze w sposob rownowazny:
a²+b²+c²-2a-2b-2c+3>=0
a(a-2)+b(b-2)+c(c-2)+3>=0

Wezmy teraz funkcje f(x)=x(x-2). Zauwazmy, ze ymin=-1 dla x=1. Czyli najmniejsza wartosc funckji f jest rowna -1. Z tego wynika, ze minimalna wartosc a(a-2)+b(b-2)+c(c-2) jest rowna -3. Powiekszona o 3 jest rowna 0. Czyli najmniejsza wartosc strony lewej jest rowna 0, czyli L>=0, co konczy dowod.