doprowadz do najprostszej postaciPierwiastek kwadratowy z [n(n+1)(n+2)(n+3)+1] to wszystko pod pierw.... Question from @spokojnaanka

najpierw trochę to przekształcimy:

$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} = \sqrt{n(n + 1)(n^2 + 5n + 6) + 1} = \\ = \sqrt{n(n^3 + 5n^2 + 6n + n^2 + 5n + 6) + 1} = \\ =\sqrt{n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1}$

teraz sprawdzimy, czy istnieje takie a, b, c, że zachodzi:

$n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 ?=? (an^2 + bn + c)^2\\ (an^2 + bn + c)^2 = \\ =a^2n^4 + abn^3 + acn^2 + abn^3 + b ^2n^2 + bcn + acn^2 +bcn + c^2 =\\= n^4 \cdot ab + n^3 \cdot2ab + n^2 \cdot (2ac + b^2) + n\cdot 2bn + c^2$

ważna uwaga:

jeżeli w wyrażeniu (lub układzie równań) kilkukrotnie występuje znak $\pm$ to będę przyjmować, że wszędzie oznacza to samo (tzn. nie wiemy, czy 1 czy -1, ale nie ma tak, że w jednym miejscu 1, a w drugim -1)

aby istniały takie a, b, c musiałoby być spełniony układ równań:

$\begin{cases} a^2 = 1\\2ab = 6\\2ac + b^2 = 11\\2bc = 6\\ c^2 = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} a = \pm 1\\ab = 3\\2ac + b^2 = 11\\bc = 3\\ c^2 = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} a = \pm 1\\b = \pm 3\\2ac + b^2 = 11\\bc = 3\\ c^2 = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} a = \pm 1\\b = \pm 3\\2ac + 9 = 11\\bc = 3\\ c^2 = 1 \end{cases}$

Oczywiście dla wyliczonych wartości a, b, c spełnione są dwa ostatnie równania. Stąd istnieją takie a, b, c. Otrzymaliśmy dwie równe trójki:

$\begin{cases} a = 1\\b = 3\\c = 1\end{cases} \vee \begin{cases} a = -1\\b = -3\\c = -1\end{cases}$

Teraz podstawiamy do pierwiastka:

$\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1}=\sqrt{n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1} = \\ =\sqrt{(an^2 + bn + c)^2} = \sqrt{(\pm n^2 \pm 3n \pm 1)^2} = |\pm n^2 \pm 3n \pm 1| = \\ =|\pm(n^2 + 3n+ 1)| = |\pm1|\cdot|n^2 + 3n+ 1| = |n^2 + 3n+ 1| = \\ =n^2 + 3n+ 1$

2 votes Thanks 0

Zad.2.198 a) wzorcowo proszę

Zad. 2,198 f) wzorcowo proszę

Zad.2,197 d) wzorcowo proszę

Sprawdz, czy istnieje rozwiązanie równania należące do podanego przedziału 1. |3x+6|-|x-1|=5 x∈<-2 ,1> 2. 4|x+1|+|5x+10|=4 x∈(-∞ ,-2> wzorcowo, bez skrótów proszę

Doprowadz wyrażenia do najprostszej postaci 1. (4x-2)²/(4*|1-2x|) 2. (3x+6)²/[3√(x+2)²]

Rozwiąż nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej 1. √(4-x²)>6 2. √(2x+3)²≥3 3. (5x-3)²-4≥0 4. 25-(2x+1)²>0 5. 9(x-2)²≤16

Zad 2.191 a), b) 2.192 c) , f )

Rozwiąż 3-|2-5x|>0 --------------------------------

Zad. 2.187 a) d) f) 2.188 a) b) d) 2.189 a) e) g) wzorcowo proszę

Zad. 2.186 a) b) f) wzorcowo proszę

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social