Question

Dokonaj analizy przebiegu zmienności funkcji określonej wzorem:
f(x)=w liczniku: x²-2x+3 w mianowniku: x²+2x-3.

Przepraszam za sposób opisania funkcji.

Answer 1

F(x) = (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3)
ω - nieskończoność

1. znajdujemy dziedzinę:
x² + 2x - 3 ≠ 0
(x - 1)(x + 3) ≠ 0
D = R\{-3, 1}

2. liczymy granicę:
lim_[x -> +ω] (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3) = lim_[x -> ω] x²(1 - 2/x + 3/x²)/x²(1 + 2/x - 3/x²) = lim_[x -> ω] (1 - 2/x + 3/x²)/(1 + 2/x - 3/x²) = 1
lim_[x -> -ω] (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3) = lim_[x -> ω] x²(1 - 2/x + 3/x²)/x²(1 + 2/x - 3/x²) = lim_[x -> ω] (1 - 2/x + 3/x²)/(1 + 2/x - 3/x²) = 1
lim_[x -> -3⁻] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁺] = +ω
lim_[x -> -3⁺] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁻] = -ω
lim_[x -> 1⁻] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁻] = -ω
lim_[x -> 1⁺] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁺] = +ω

3a. asymptota pionowa
lim_[x -> -3⁻] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁺] = +ω
lim_[x -> -3⁺] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁻] = -ω
lim_[x -> 1⁻] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁻] = -ω
lim_[x -> 1⁺] (x² - 2x + 3)/(x - 1)(x + 3) = [3/0⁺] = +ω

x = -3
x = 1

3. asymptota ukośna i pionowa
lim_[x -> ω] (x² - 2x + 3)/x(x² + 2x - 3) = lim_[x -> ω] x³(1/x - 2/x² + 3/x³)/x³(1 + 2/x - 3/x²) = lim_[x -> ω] (1/x - 2/x² + 3/x³)/(1 + 2/x - 3/x²) = 1
lim_[x -> ω] [(x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3) - 0*x] = 1

y = 1

4. punkty wspólne z osiami i asymptotą poziomą
x = 0
f(x) = -1

f(x) = 0
0 = (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3)
0 = x² - 2x + 3
Δ = 4 - 12 = -8
wykres funkcji nie przecina prostej y = 0

f(x) = 1
1 = (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3)
x² + 2x - 3 = x² - 2x + 3
4x = 6
x = 3/2

5.pochodna
f(x) = (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3)
f'(x) = [(2x - 2)(x² + 2x - 3) - (2x + 2)(x² - 2x + 3)]/(x² + 2x - 3)² = 2[(x - 1)(x² + 2x - 3) - (x + 1)(x² - 2x + 3)]/(x² + 2x - 3)² = 2[(x³ + 2x² - 3x - x² - 2x + 3) - (x³ - 2x² + 3x + x² - 2x + 3)]/(x² + 2x - 3)² = 2[(x³ + x² - 5x + 3) - (x³ - 1x² + 1x + 3)]/(x² + 2x - 3)² = 2[x³ + x² - 5x + 3 - x³ + 1x² - 1x - 3]/(x² + 2x - 3)² = 2[2x² - 6x]/(x² + 2x - 3)² =

6.extrema i monotoniczność
f'(x) = 0
2[2x² - 6x](- 2x - 6)/(x² + 2x - 3)² = 0

można bez konsekwencji pomnożyć przez dół bo jest zawsze > 0
x(x - 3) = 0

maksimum x = 0 po za dziedziną
minimum x = 3 po za dziedziną

funkcja rośnie w przedziale (-ω, -3)
funkcja rośnie w przedziale (-3, 0)
funkcja maleje w przedziale (0, 1)
funkcja maleje w przedziale (1, ω)

f(3) = (x² - 2x + 3)/(x² + 2x - 3) = (9 - 6 + 3)/(9 + 6 - 3) = 6/12 = 1/2