Do półkuli o promieniu R włożono trzy kule o promieniu r takie, że są one styczne wzajemnie i styczn.... Question from @piowaj

September 2018 1 87 Report

Do półkuli o promieniu R włożono trzy kule o promieniu r takie, że są one styczne wzajemnie i styczne do płaszczyzny wyznaczonej krawędzią półkuli. Oblicz r.

Roma

R - promień pólkuli

r - promień włożonych kul

patrz załącznik:

- rys. I przedstawia widok z góry na półkulę z włozonymi kulami

ΔABC - trójkąt równoboczny o boku a = 2r, stąd wysokość h tego trójkąta wynosi:

$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{2r \cdot \sqrt{3}}{2} = r \cdot \sqrt{3}$

- rys. II przedstawia przekrój bryły płaszczyzną, do której należy środek jednej z kul i prostopadłą do płaszczyzny pokrywy pólkuli.

|OP| = R - r

|OA| - ⅔ wysokości h trójkąta ABC, zatem

$|OA| = \frac{2}{3} h= \frac{2}{3} \cdot r \cdot \sqrt{3} = \frac{2r \cdot \sqrt{3} }{3}$

|AP| = r

Z trójkąta prostokątnego OAP: |OP|² = |OA|² + |AP|², stąd

$(R- r)^2 = (\frac{2r \cdot \sqrt{3} }{3})^2 + r^2$

$R^2 - 2Rr + r^2 = \frac{4r^2 \cdot 3}{9} + r^2$

$R^2 - 2Rr + r^2 = \frac{4r^2}{3} + r^2 \ / \cdot 3$

$3R^2 - 6Rr + 3r^2 = 4r^2 + 3r^2$

$4r^2 + 6Rr - 3R^2 = 0$

$\Delta = 36R^2 + 48R^2 = 84R^2; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{84R^2} = \sqrt{4 \cdot 21R^2} = 2R\sqrt{21}$

$r_1 = \frac{-6R - 2R\sqrt{21}}{8} = \frac{-2R \cdot (3+\sqrt{21})}{8} = \frac{-R \cdot (3+\sqrt{21})}{4} = -\frac{1}{4} R \cdot (3+\sqrt{21}) \ < 0$

$r_2 = \frac{-6R + 2R\sqrt{21}}{8} = \frac{2R \cdot (\sqrt{21}-3)}{8} = \frac{R \cdot (\sqrt{21}-3)}{4} = \frac{1}{4} R \cdot (\sqrt{21}-3) \ >0$

Odp. $r = \frac{1}{4} R \cdot (\sqrt{21}-3)$

2 votes Thanks 0

Udowodnij:

Answer

piowaj September 2018 | 0 Replies

udowodnij:NIE UMIESZ - NIE RÓB!Spam i rozwiązania niepełne będą usuwane z ostrzeżeniem (co może skutkować blokadą czasową lub usunięciem konta)

Answer

piowaj September 2018 | 0 Replies

udowodnij:NIE UMIESZ - NIE RÓB!Spam i rozwiązania niepełne będą usuwane z ostrzeżeniem (co może skutkować blokadą czasową lub usunięciem konta)

Answer

piowaj September 2018 | 0 Replies

Rozwiąż nierówność dla :

Answer

piowaj September 2018 | 0 Replies

Rozwiąż równanie:sin5x + cos7x = 0

Answer

Udowodnij:

udowodnij:NIE UMIESZ - NIE RÓB!Spam i rozwiązania niepełne będą usuwane z ostrzeżeniem (co może skutkować blokadą czasową lub usunięciem konta)

udowodnij:NIE UMIESZ - NIE RÓB!Spam i rozwiązania niepełne będą usuwane z ostrzeżeniem (co może skutkować blokadą czasową lub usunięciem konta)

Rozwiąż nierówność dla :

Rozwiąż równanie:sin5x + cos7x = 0

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social