Do kompletu różnych możliwości obliczania objętości czworościanu.Oblicz objętość czworościanu ABCD j.... Question from @lesio100

fanaticadas93 Zmierzam do wierzchołka C

W macierzy umieszczam wektory będące długościami boków od wierzchołka C

$\left[\begin{array}{ccc}4&3&5\\2&0&1\\0&1&3\end{array}\right] \\\\
6V=|(4*0*3)+(2*1*5)+(0*3*1)-\\ -(0*0*5)-(2*3*3)-(4*1*1)|\\\\
6V=|0+10+0-0-18-4|\\
6V=|-12|\Rightarrow V=\frac{12}{6}=2$

Wyznacznik macierzy w tym wypadku opisuję równoleglościan o 4 wspólnych wierzchołkach z naszym czworościanem. Jego objętość będzie zatem 6 razy mniejsza od wyznacznika macierzy którym jest objętość równoleglościanu.

lesio100 W rozwiązaniu Adama podoba mi się to, że zamyka w nawiasy grupy konkretnych skosów przy liczeniu wyznacznika. Matematycznie niepotrzebne, organizacyjnie - pomagają.

Roma Matematycznie też potrzebne, bo wprawdzie tu są iloczyny dodatnie, ale np. w moich obliczeniach są ujemne, więc są niezbędne:)

lesio100 no u Ciebie z minusami pojechało

lesio100 mozna było całą macierz przez (-1) potraktować na wstępie

Roma Dane współrzędne wierzchołków czworościanu:
A =( 4 , 3 , 5 )
B =( 2 , 0 , 1 )
C =( 0 , 0 , 0 )
D =( 0 , 1 , 3 )

Skorzystamy ze wzoru na objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach:

Objętość równoległościanu zbudowanego na trzech wektorach jest równa wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych trzech wektorów.
Iloczyn mieszany trzech wektorów $\vec{u}, \ \vec{v}, \ve{w} \in \mathbb{R}^3$ definiuje się jako liczbę: $(\vec{u} \times \vec{v}) \circ \vec{w}$ i jest on równy wyznacznikowi macierzy utworzonej ze współrzędnych tych trzech wektorów.

Zatem objętość równoległościanu $V_R$ zbudowanego na wektorach $\vec{AB}, \ \vec{AC}, \vec{AD}$ (wyznaczonych przez krawędzie wychodzące z jednego punktu) wynosi:
$V_R =|(\vec{AB} \times \vec{AC}) \circ \vec{AD}|$

Przyjmujemy, że podstawą czworościanu jest trójkąt ABC.
Jednak musimy zauważyć, że objętość czworościanu (ostrosłupa trójkątnego) ABCD zbudowanego na wektorach $\vec{AB}, \ \vec{AC}, \vec{AD}$ dlatego, że podstawa równoległościanu ma pole 2 razy większe niż pole trójkąta ABC, a objętość czworościanu (ostrosłupa trójkątnego) jest 3 razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o tej samej podstawie, wynosi:
$V_{CZ} = \frac{1}{6} V_R = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \circ \vec{AD}|$

Zatem szukana objętość czworościanu zbudowanego na wektorach $\vec{AB}, \ \vec{AC}, \vec{AD}$ , które mają współrzędne:
$\vec{AB} = [2-4, \ 0-3, \ 1-5] =[-2, \ -3, \ -4] \\\
\vec{AC} = [0-4, \ 0-3, \ 0-5] =[-4, \ -3, \ -5] \\\
\vec{AD} = [0-4, \ 1-3, \ 3-5] =[-4, \ -2, \ -2]$

wynosi:

$V_{CZ} = \frac{1}{6} \cdot |\left|\begin{array}{ccc}-2&-3&-4\\-4&-3&-5\\-4&-2&-2\end{array}\right|| = \frac{1}{6} \cdot |(-2 \cdot (-3) \cdot (-2)) + \\\\ + (-3 \cdot (-5) \cdot (-4)) + (-4 \cdot (-4) \cdot (-2)) - (-2 \cdot (-5) \cdot (-2)) \\\\ - (-3 \cdot (-4) \cdot (-2)) - (-4\cdot (-3) \cdot (-4))| = \frac{1}{6} \cdot |-12-60-32+\\\\ +20 +24 +48| = \frac{1}{6} |-12| = \frac{1}{6} \cdot12 = 2$

Odp. Objętość czworościanu ABCD wynosi 2 j³.

fanaticadas93 Najważniejsze że wszistko gro ;D

lesio100 Ja , genau

Roma Najważniejsze jest to, żeby wybrać wektory wychodzące z jednego wierzchołka i chciałam pokazać, że to obojętnie, który wierzchołek się wybierze - byłeś "szybszy" - miałeś "łatwiej" :)

fanaticadas93 e tam :D godosz :D

Roma "chłopy" hahaha zawsze mają łatwiej

fanaticadas93 nie prawda :D, po prostu wy "baby" za bardzo komplikujecie wszystko :D

lesio100 jutro wymyślę jakieś zadanie, z monotoniczności, treść krótka - dużo liczenia, może być ?

lesio100 chyba że teraz masz jeszcze ochotę

fanaticadas93 ja na dzisiaj mam dość :D

lesio100 to jutro będziesz poprawiał :D

Zadanie z rachunku prawdopodobieństwa, geografii i historii: Wiadomo, że Babcia Marta urodziła się w 1900 roku w Kórniku. Wskaż prawdopodobieństwo tego, że urodziła się pierwszego marca.

Dzisiaj na portalu pojawiło się dużo granic, to dołożę jeszcze jedną :)

Ile obrotów wykona koło o obwodzie x, tocząc się bez poślizgu po nieruchomym kole o obwodzie 11x? Wskazówka: wynik można przedstawić za pomocą jednego liczebnika.

Przedstaw w możliwie najprostszej postaci:

Rozwiąż układ równań:

W załączniku rysunek przedstawiający pewną bryłę. Co to za bryła? Uzasadnij odpowiedź. Zapraszam do dyskusji :)

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social