Question

Do kompletu różnych możliwości obliczania objętości czworościanu.

Oblicz objętość czworościanu ABCD jeżeli współrzędne jego wierzchołków wynoszą :

A =( 4 , 3 , 5 )
B =( 2 , 0 , 1 )
C =( 0 , 0 , 0 )
D =( 0 , 1 , 3 )

Answer 1

 Zmierzam do wierzchołka  C

W macierzy umieszczam wektory będące długościami boków od wierzchołka C



Wyznacznik macierzy w tym wypadku opisuję równoleglościan o 4 wspólnych wierzchołkach z naszym czworościanem. Jego objętość będzie zatem 6 razy mniejsza od wyznacznika macierzy którym jest objętość równoleglościanu.

Answer 2

Dane współrzędne wierzchołków czworościanu:
A =( 4 , 3 , 5 )
B =( 2 , 0 , 1 )
C =( 0 , 0 , 0 )
D =( 0 , 1 , 3 )

Skorzystamy ze wzoru na objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach:

Objętość równoległościanu zbudowanego na trzech wektorach jest równa wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych trzech wektorów.
Iloczyn mieszany trzech wektorów definiuje się jako liczbę: i jest on równy wyznacznikowi macierzy utworzonej ze współrzędnych tych trzech wektorów.

Zatem objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach (wyznaczonych przez krawędzie wychodzące z jednego punktu) wynosi:


Przyjmujemy, że podstawą czworościanu jest trójkąt ABC.
Jednak musimy zauważyć, że objętość czworościanu (ostrosłupa trójkątnego) ABCD zbudowanego na wektorach dlatego, że podstawa równoległościanu ma pole 2 razy większe niż pole trójkąta ABC, a objętość czworościanu (ostrosłupa trójkątnego) jest 3 razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o tej samej podstawie, wynosi:


Zatem szukana objętość czworościanu zbudowanego na wektorach , które mają współrzędne:


wynosi:



Odp. Objętość czworościanu ABCD wynosi 2 j³.