Question

Dla jakiej wartości parametru m suma trzech różnych pierwiastków rzeczywistych równania

m²x³+x² +2mx=0

wynosi -1?

Answer 1

 

Zatem jednym z pierwiastków będzie x = 0, więc aby równanie miało trzy pierwiastki, to równanie m²x² + x + 2m = 0 musi mieć dwa pierwiastki. Stąd:

m² ≠ 0, czyli m ≠ 0 oraz Δ > 0. Zatem:

 

Znajdziemy miejsca zerowe:

 

 

równanie nie ma rozwiązań

 

Zaznaczamy miejsce zerowe ½ na osi i rysujemy przybliżony wykres (patrz załącznik). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności 1 - 8m³ > 0:

 

Zatem równanie m²x² + x + 2m = 0 będzie miało dwa pierwiastki dla m ≠ 0 i m ∈ (- ∞; ½).

 

Pozostaje sprawdzić, dla jakiej wartości parametru m, suma tych dwóch pierwiastków wynosi - 1, bo jednym z trzech pieriwastków, jak ustaliliśmy wcześniej, jest x = 0, czyli suma pierwiastków równania m²x² + x + 2m = 0 musi wynosić  - 1.

 

Skorzystamy ze wzorów Viete'a:

Jeśli x₁ i x₂ są pierwiastkami równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 to x₁ + x₂ = -b/a.

Zatem:

Stąd:

Zatem uwzgledniając wcześniejsze ustalenia: m ≠ 0 i m ∈ (- ∞; ½) otrzymujemy:

 

---------------------------------------------------

Sprawdzenie:

m = - 1

m²x³ + x² + 2mx = 0

x³ + x² - 2x = 0

x·(x² + x - 2) = 0

x = 0  v x² + x - 2 = 0

 

x = 0

x₁ = 0

 

x² + x - 2 = 0

Δ = 1² - 4 · 1 · (- 2) = 1 + 8 = 9; √Δ = 3

x₂ = ⁻¹⁻³/₂·₁ = ⁻⁴/₂ = - 2

x₃ = ⁻¹⁺³/₂·₁ = ²/₂ = 1

 

x₁ + x₂ + x₃ = 0 - 2 + 1 = - 1

---------------------------------------------------

 

Odp. m = - 1