Question

Dla jakiej wartości parametru m równanie
x² - 2|x| - 2 = m
ma 3 rozwiązania? Znajdź te rozwiązania.

[Wakacyjna lista wyzwań ; 20]

Answer 1

Odpowiedź w załączniku. Metoda graficzna.

Uwaga: Pamiętajmy, że |x|² = x² oraz, że aby obłożyć x wartością bezwzględną |x| należy na wykresie "usunąć" stronę lewą od osi Y, a zamiast niej przerysować stronę prawą symetrycznie. :)

Answer 2

Pozwolę sobie rozwiązać to algebraicznie i od razu przepraszam za brak rozwiązania metodą graficzną - ale warto znać tricki algebraiczne i zachęcam do dodania rozwiązania graficznie :)

Będziemy zwijać do wzoru (a±b)²=a²±2ab+b² - pamiętamy dodatkowo że |x|² = x²

x² - 2|x| + coś musi nam się zwinąć do wzoru - tym cosiem będzie 1 poniewaz 2*|x|*1 = 2|x|

Dodaję i odejmuje jedynkę skąd mam:

x²-2|x|+1-1-2=m

(|x|-1)² -1-2=m

(|x|-1)²-3-m=0

(|x|-1)²-[√(m+3)]²=0 - korzystam z a²-b²=(a-b)(a+b)

(|x|-1-√(m+3))(|x|-1+√(m+3))=0

skąd mamy:

(1) |x| = 1+√(m+3) lub (2) |x|= 1-√(m+3)

By były 3 rozwiązania mamy tylko dwa przypadki:

1° to 1+√(m+3) = 0 oraz 1-√(m+3)>0

wówczas z (1) otrzymamy 1 rozwiązanie a z (2) 2 rozwiązania.

Natomiast równanie 1+√(m+3)=0 jest sprzeczne bo √(m+3) nie może się równać -1 (da nam liczbę dodatnią).

2° to na odwrót:

1+√(m+3)>0 oraz 1-√(m+3)=0

z drugiego równania mamy √(m+3)=1 skąd

m+3=1 i stąd m=-2.

Oraz 1+√(m+3) dla m=-2 jest dodatni więc pasuje. stąd tylko dla m=-2 otrzymamy trzy rozwiązania. Będą nimi:

x1=1+√(-2+3)=2

x2=-1-√(-2+3)=-2

x3=0