Question

Dla jakiego parametru m wielomian x^3+mx-2(m+4) ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste?

Answer 1

Jezeli wielomian ma pierwiastki calkowite, to sa one dzielnikiem wyrazu wolnego (gdy a=1).

W(2)=8+2m-2m-8=0

m≠0 (dla m=0 wielomian ma 1 pierwiastek).

Jeden z pierwiastkow tego wielomianu jest rowny 2, zatem wielomian jest podzielny przez dwumian (x-2).

 

(x³+mx-2(m+4)):(x-2)=x²+2x+m+4

-x³+2x²

---------

 2x²+mx

-2x²+4x

----------------

      (m+4)x-2(m+4)

    -(m+4)x+2(m+4)

 ===============

 

W(x)=(x-2)(x²+2x+m+4)

Δ=4-4(m+4)>0

-12-4m>0/:(-4)

m<-3 i m≠0

1. Jezeli podwojnym pierwiastkiem jest x=2, to

4+4+m+4=0

m+12=0

m=-12

2.

Jezeli x=2 jest pierwiastkiem pojedynczym, to (x^2+2x+m+4) musi miec jeden pierwiastek podwojny

Δ=0⇒m=-3

dodatkowo spr.

x²+2x+(m+4)=(x+1)²⇒ m+4=1

m=1-4

m=-3

Odp. m=-12 lub m=-3.