Question

dla jakich wartości parametru m suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania jest równa -6

b)mx^2+(m-1)x+1=0

Answer 1

Odpowiedź:w załączniku

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Odpowiedź:

mx² + (m - 1)x + 1 = 0

a = m , b = m - 1  , c = 1

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki gdy:

a ≠ 0

Δ > 0

Δ = (m - 1)² - 4 * m * 1 = m² - 2m + 1 - 4m = m² - 6m + 1

m² - 6m + 1 > 0

Δ = 6² - 4 * 1 * 1 = 36 - 4 = 32

√Δ = √32 = √(16 * 2) = 4√2

m₁ = (6 - 4√2)/2 = 2(3 - 2√2)/2 = 3 - 2√2

m₂ = (6 + 4√2)/2 = 2(3 + 2√2)/2 = 3 + 2√2

Ponieważ wyrażenie ma być większe od 0 więc:

m ∈ ( - ∞ , 3 - 2√2) ∪ (3 + 2√2 , + ∞ )

Wzory Viet'a

x₁ + x₂ = - b/a

x₁ * x₂ = c/a

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/x₁x₂ = - b/a : c/a = - b/a * a/c  = - b/c

- b/c = - 6

- (m - 1)/1 = - 6

- m + 1 = - 6

m - 1 = 6

m = 6 + 1 = 7

Sprawdzamy , czy dla m = 7 równanie ma dwa różne pierwiastki

7x² + (7 - 1)x + 1 = 0

7x² + 6x + 1 = 0

Δ = 6² - 4 * 7 * 1 = 36 - 28 = 8

√Δ = √8 = √(4 * 2) = 2√2

x₁ = (- 6 - 2√2)/14 = - 2(3 + √2)/14 = - (3 + √2)/7

x₁ = (- 6 + 2√2)/14 = 2(- 3 + √2)/14 = (√2 - 3)/7

Sprawdzamy , czy suma pierwiastków wynosi - 6

1/x₁ = - 7/(3 + √2)

1/x₂ = 7/(√2 - 3)

- 7/(3 + √2) + 7/(√2 - 3) = - 6

- 7/(√2 + 3) + 7/(√2 - 3) = - 6

[- 7(√2 - 3) + 7(√2 + 3)]/(√2 - 3)(√2 + 3) = - 6

(- 7√2 + 21 + 7√2 + 21)/(2 - 9) = - 6

42/(- 7) = - 42

- 42/7 = - 6

- 6 = - 6

L = P