Question

Dla jakich wartości parametru m równanie(w załączniku) ma tylko jedno rozwiązanie. Wynik to (-∞;1) i 5. Nie mam pojęcia jak ten przedział ma wyjść.

Answer 1

4^x-(m+3)*2^x + 4*m - 4 = 0

(2^x)²-(m+3)*2^x + 4m - 4 = 0

y = 2^x > 0

y²-(m+3)*y + 4*m - 4 = 0

D = (m+3)² -4(4m-4) = m² + 6m + 9 - 16m + 16 = m² - 10m + 25

m² - 2*5*m + 5² = (m - 5)²

D = (m - 5)²  ≥ 0  zawsze !  dla m∈(-∞;+∞ )

√D = √(m-5)² = (m - 5)

dla  D = 0     m - 5 = 0
☟
m = 5

dla m = 5
☟
y²-8*y + 16 = y² -2*4 + 4² = (y-4)² = 0

(y-4)² = 0 ☛ y = 4 > 0 ☛ y = 2^x ☛ x = 2

dla m = 5  ma tylko jedno rozwiązanie  x = 2

y₁ = ((m+3) - (m-5))/2 = 4 ☛ 2^x = 4  ☛ x₁ = 2  zawsze dla m∈(-∞;+∞ )

y₂ = ((m+3) + (m-5))/2 = (2m-2)/2 = m-1 ☛ x₂ = lg(m-1)/lg(2)

m - 1 > 0
☟
dla m > 1  y₁>0 i y₂>0 ☛ ma dwa rozwiązanie x₁=2 i x₂= lg(m-1)/lg(2)

dla m < 1   y₂ < 0 ☛  ma tylko jedno rozwiązanie   x₁ = 2

dla m = 5 i dla m < 1 równanie ma tylko jedno rozwiązanie x = 2

odp. m∈(-∞; 1)∪{5}