Question

Dla jakich wartości parametru m równanie x² + (m-4)x + m+2 ma dwa rozwiązania ujemne?

Answer 1

Nieskończoność oznaczę znakiem "&", bo nie potrafię tego zrobić na klawiaturze :)
Ze wzorów Viete'a
x1 * x2 = c/a
x1 + x2 = -b/a
a = 1
b = m - 4
c = m + 2
Oba rozwiązania ujemne więc iloczyn rozwiązań jest dodatni :)
A skoro oba rozwiązania ujemne, to suma tych rozwiązań także jest ujemna :)
Warunek 1: m + 2 > 0
Warunek 2: - (m - 4) < 0  => -m + 4 < 0  =>  m > 4
Wiemy więc, że dla m > 4 mogą zajść wzory Viete'a.
Ale...sprawdźmy dla jakich "m" równanie to ma 2 rozwiązania :)
Skoro 2 rozwiązania, to delta musi być większa od 0.
A więc oznaczmy deltę literą "d".
Wiemy więc, że skoro mają być 2 rozwiązania to : d > 0 i że d= b^2 - 4ac
d= ( m - 4 )^2 -4 ( m + 2 )
d= m^2 - 8m + 16 -4m - 8
d= m^2 - 12m + 8
Więc skoro d > 0, i d = m^2 - 12m + 8, to dwa rozwiązania będą, dla parametru m, którego przedział określa rozwiązanie tej nierówności :

m^2 - 12m + 8 > 0
             m^2 - 12m + 8 = 0  ( tutaj deltę nazwę literką D, a pierwiastek np: liczby 2 oznaczę [2] )             D= 144 - 32
             D= 112
             D = 16 * 7
             [D]= 4[7]
             m1= (12 - 4[7] ) / 2
             m1= 6 - 2[7]
             m2 = 6 + 2[7]
Jeśli narysujemy rozwiązanie z ramionami ku górze ( bo a > 0 ), to odczytamy rozwiązanie nierówności :) Czyli wszystkie wartości, które będą powyżej osi x, są rozwiązaniem naszej wyjściowej nierówności ( m^2 - 12m + 8 )
Więc  m należy do zbioru < - & ; 6 - 2[7] > u <6 + 2[7] ; + & >
Wracając do warunku wynikającego ze wzorów Viete'a pamiętamy, że m > 4
Więc równanie to ma 2 rozwiązania ujemne dla m należącego do zbioru < 6 + 2[7] ; + & >

Nie mam pojęcia jak tu się robi pierwiastki, potęgi itp: dlatego wszystko słownie rozwiązuję ;)