Question

Dla jakich wartości parametru m równanie |x - 2| = 2m + 1 ma:
a. jedno rozwiązanie?
b. dwa rozwiązania?

[Wakacyjna lista wyzwań ; 9]

Answer 1

Verified answer

Wartość bezwzględna wypluje nam:

-liczbę dodatnią (dla dwóch wariantów: ujemnego i dodatniego)

-zero (dla |0|)

-ujemnej nie wypluje.

Lub matematycznie: Jeśli |x| = a i a>0 to x1=a oraz x2=-a, jeśli |x|=0 to x=0 a jeśli |x|=a i a<0, dostaniemy równanie sprzeczne

Ponieważ x-2 jest wielomianem o stopniu 1, zachowa się tak samo jak x.

Z powyższego wynika, że:

b) mamy dwa rozwiązania dla 2m+1>0 czyli dla 2m>-1 więc dla m>-1/2

a) mamy jedno rozwiązanie dla 2m+1=0 więc dla m=-1/2.

Jeśli zadanie było dedykowane licealistom, przepraszam za zepsucie zabawy:(

Answer 2

Dane jest równanie : |x-2|=2m+1

a)     Korzystamy z równości :

|x|=0 ⇔ x=0

Zatem : 2m+1=0 czyli m=-1/2 . Wtedy :

|x-2|=0 ⇔ x-2=0 ⇔ x=2

b)  Równanie |x|=a ma dwa rozwiązania dla a > 0 .Stąd :

2m+1 > 0|:2

m+1/2 > 0

m > -1/2

Dla m∈(-1/2,∞) równanie (*) ma dwa różne rozwiązania.