Question

Dla jakich wartości parametru m równanie

ma 2 różne rozwiązania?

Answer 1

W przypadku równań z wartością bezwzględną oraz parametrem, najłatwiej jest rozwiązać zadanie graficznie.

Załóżmy, że prawą stronę równania oznaczymy literą k, czyli k = m² + 1, zatem dostaniemy: |x² - 4| = k.
Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, po jej opuszczeniu dostaniemy dwa następujące równania (przy założeniu, że k ≥ 1):
x² - 4 = k ∨ -x² + 4 = k

Zobaczmy jak wyglądają wykresy funkcji x² - 4 oraz -x² + 4 (w załączniku).
Możemy zauważyć, że funkcje przecinają się w dwóch punktach (x = -2 oraz x = 2). Powróćmy zatem do wartości bezwzględnej. Skoro wiemy jak wyglądają oba wykresy a także znamy działanie wartości bezwzględnej, możemy narysować wykres |x² - 4| (w załączniku). Pozostało narysować na wykresie |x² - 4| prostą k, dzięki której będziemy mieli dwa różne rozwiązania zadania (w załączniku).  Jeśli k = 4, to przecina funkcję |x² - 4| w trzech miejscach, zatem będą trzy rozwiązania. Jeśli k byłoby np. dwa, wtedy przecinałby wykres |x² - 4| w czterech miejscach, co dawałoby cztery rozwiązania. Nam zależy na tym, aby równanie posiadało dwa rozwiązania, zatem k > 4.

Ustaliliśmy już nasze k, teraz należy wrócić do parametru m.
Dla przypomnienia k = m² + 1, a zatem musimy rozwiązać nierówność:
m² + 1 > 4
m² - 3 > 0
m² - 3 = 0
(m - √3)(m + √3) = 0
m = √3 ∨ m = -√3

Dlatego m ∈(-∞, -√3) ∨ (√3, +∞).
Dla m z powyższego zakresu, równanie |x² - 4| = m² + 1 posiada dwa rozwiązania.