Question

Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji y=f(x) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?

f(x)=

Proszę o dokładne rozpisanie tego.

Answer 1

Żeby dziedziną funkcji

był zbiór wszystkich liczb rzeczywistych muszą być spełnione następujące warunki:

po pierwsze 1) (m^{2}+m-6)x^{2}+(m-2)x+1>0  

musi istnieć pierwiastek zapisany w mianowniku i musi on być różny od zera (mianownik nie może być zerem:))

 ponieważ w warunku 1) mamy funkcję kwadratową, to delta musi być ujemna, a współczynnik "a" stojący przy x^2 musi być dodatni:

po naszkicowaniu pomocniczego wykresu otrzymujemy m nalezy do sumy przedziałów 

(-nieskoń, -3) i (2,+nieskoń)

teraz jeszcze delta z całego wyrażenia pod pierwiastkiem musi być ujemna, więc:

i znowu rozwiązanie m należy do sumy przedziałów (-nieskoń, -4 i 2/3) oraz (2,+nieskoń)

biorąc pod uwagę rozwiązanie 1 i 2 warunku otrzymujemy że m należy do sumy przedziałów (-nieskoń, -4 i 2/3) oraz (2,+nieskoń)

 

po drugie 2) powinniśmy też rozpatrzyć przypadek, kiedy nie będzie to funkcja kwadratowa, wtedy, aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych musielibyśmy mieć stałą pod pierwiastkiem, a to jest możliwe tylko dla m=2

 

z 1 i 2 przypadku otrzymujemy ostatecznie, że m należy do sumy przedziałów (-nieskoń, -4 i 2/3) oraz <2,+nieskoń)

 

Jeśli będziesz miał pytania służe pomocą - mam nadzieję, że się nie pomyliłam - metoda jest dobra :)