Question

Dla jakich wartości parametrów a,b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

W(x)=

Zrobić trzeba dzieleniem wielomianów,

NIE MÓWCIE ŻE NIKT TEGO TU NIE UMIE?

Answer 1

W pierwszej kolejkności należy podany wielomian podzielić przez wyrażenie (x-3).

x^{3}+(a+b+3)x^{2}+(4a+2b+9)x+(12a+6b+21)
________________________________________
(x^{4}+(a+b)x^{3}+(a-b)x^{2}-6x+9):(x-3)
-x^{4}+3x^{3}
_____________
(a+b+3)x^{3}+(a-b)x^{2}-6x+9
-(a+b+3)x^{3}+(3a+3b+9)x^{2}
______________________________
(4a+2b+9)x^{2}-6x+9
-(4a+2b+9)x^{2}+(12a+6b+27)x+9
_______________________________
(12a+6b+27)x+9
-(12a+6b+27)x+(36a+18b+63)
__________________________
36a+18b+72

 

[Pierwsza linijka od góry to wynik dzielenia wielomianu w(x) przez (x-3). Ostatnia to r(x)].

 

By dzielenie było prawdzwe, tz. by wielomian był podzielny przez dwumian (x-3) nie może być reszty, tz r(x)=0, czyli wyrażenie

36a+18b+72=0  <- jest to pierwsze równanie.

 

Wiadomo, że r=3 jest dwukrotnym pierwiastkiem zadanego wielomianu, czyli wystarczy do równania (wynik dzielenia)

p(x)=x^{3}+(a+b+3)x^{2}+(4a+2b+9)x+(12a+6b+21)

podstawić x=3

p(3)=27+(a+b+3)*9+(4a+2b+9)*3+(12a+6b+21)  <- drugir równanie

 

Teraz wystarczy rozwiązać układ równań

{r(x)=0

{p(3)=0

czyli

{36a+18b+72=0       |:18

{27+(a+b+3)*9+(4a+2b+9)*3+(12a+6b+21)=0

 

{2a+b+4=0

{27+9a+9b+27+12a+6b+27+12a+6b+21

 

{b=-2a-4

{33a+21b+102=0

 

{b=-2a-4

{33a-42a-84+102=0  

 

{b=-2a-4

{-9a=-18  

 

{a=2

{b=-8  

Ostatecznie wielomian ma postać: w(x)=x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9.  

Sprawdzenie

w(x)=x^{4}-6x^{3}+10x^{2}-6x+9

w(x)=(x^{4}-6x^{3}+9x^{2})+(x^{2}-6x+9)

w(x)=x^{2}(x^{2}-6x+9)+(x^{2}-6x+9)

w(x)=x^{2}(x-3)^{2}+(x-3)^{2}

w(x)=(x^{2}+1)(x-3)^{2}

Z tej postacio widać że wielomian ma tylko ten jeden dwukrotny pierwiastek r=3.