Question

Dla jakich wartości parametrów a, b wieloniam W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeżeli : a) W(x)=x^4-2x^3+ax^2+bx+b , P(x)=x^2-3x+3

Answer 1

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) wtedy,, gdy istnieje wielomian Q(x) taki, że W(x) = P(x) · Q(x)

W(x) = x⁴ - 2x³ + ax² + bx + b

P(x) = x² - 3x + 3

Zatem wielomian Q(x) będzie wielomianem 2-go stopnia: Q(x) = kx² +mx + p

P(x) · Q(x) = (x² - 3x + 3)(kx² + mx + p) = kx⁴ + mx³ + px² - 3kx³ - 3mx² - 3px + 3kx² + 3mx + 3p = kx⁴ + mx³ - 3kx³ + px² - 3mx² + 3kx² - 3px + 3mx + 3p = kx⁴ + (m - 3k)·x³ + (p - 3m + 3k)·x² + (- 3p + 3m)·x + 3p

W(x) = P(x) · Q(x)

x⁴ - 2x³ + ax² + bx + b = kx⁴ + (m - 3k)·x³ + (p - 3m + 3k)·x² + (- 3p + 3m)·x + 3p

Wielomiany są równe wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Stąd:

k = 1

m - 3k = - 2

p - 3m + 3k = a

- 3p + 3m = b

3p = b

Zatem:

k = 1 ⇒

m - 3k = - 2

m - 3·1 = - 2

m - 3 = - 2

m = - 2 + 3

m = 1

m = 1 ∧ 3p = b

- 3p + 3m = b

- b + 3·1 = b

- b + 3 = b

- b - b = - 3

- 2b = - 3  /:(- 2)

b = 1,5

b = 1,5 

3p = b

3p = 1,5 /:3

p = 0,5

p = 0,5 ∧ m = 1 ∧ k = 1

p - 3m + 3k = a

a = 0,5 - 3·1 + 3·1

a = 0,5 - 3 + 3

a = 0,5

Dla a = 0,5 i b = 1,5 wielomian W(x) = x⁴ - 2x³ + 0,5x² + 1,5x + 1,5 jest podzielny przez wielomian P(x) = x² - 3x + 3

Spr.

(x⁴ - 2x³ + 0,5x² + 1,5x + 1,5) : (x² - 3x + 3) = x² + x + 0,5

-x⁴ +3x³ - 3x²

------------------

       x³ - 2,5x² + 1,5x + 1,5

     - x³ + 3x² - 3x

      ------------------

             0,5x² - 1,5x + 1,5

           - 0,5x² + 1,5x - 1,5

             ---------------------

                 R = 0

Odp. a = 0,5 i b = 1,5