Question

Dla jakich funkcji przyjmujących dla rzeczywistych dodatnich wartości rzeczywiste spełniają one równanie . Wiadome jest że rozwiązaniem jest ale prosiłbym o pełen dowód tego równania funkcyjnego.

Answer 1

Podzielmy równanie stronami przez

Niech
Dostajemy nowe równanie

Zauważmy, że jeżeli funkcja g(x) spełnia równanie to spełnia je również funkcja dla dowolnego c rzeczywistego.
Więc w szczególności możemy funkcji g narzucić dowolny warunek początkowy, a każde inne rozwiązanie będzie tylko przesunięciem g o stałą.
A zatem niech g(2) = 1
Zauważamy, że w takim przypadku mamy a zatem dostaliśmy jedno z równań Cauchy'ego którego jedynym ciągłym rozwiązaniem jest
A zatem każde rozwiązanie równania funkcyjnego ma postać
Teraz wystarczy wrócić z podstawienia funkcji
gdzie c jest dowolną stałą.