Determinar si es Bernoulli o lineal y resolverla.... Question from @angie96623

November 2018 1 45 Report

Determinar si es Bernoulli o lineal y resolverla

seeker17 Bien, la ecuación diferencial de Bernoulli tiene la forma,

$y'+P(x)y=f(x)y^{n}$

entonces, intentemos llegar alguna expresión,

$(xy^{2}+x\cos(x))dx-2xydy=0 \\ (xy^{2}+x\cos(x))dx=2xydy \\ \\\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{xy^{2}}{2xy}+\frac{x\cos(x)}{2xy} \\ \\ \frac{dy}{dx}-\frac{y}{2}-\frac{\cos(x)}{2y}=0 \\ \\ \\ \frac{dy}{dx}-\frac{1}{2}(y)-\left(\frac{\cos(x)}{2}\right)(y^{-1})$

aquí identificamos que

$\displaystyle P(x)=-\frac{1}{2},\hspace{8mm}f(x)=\frac{\cos(x)}{2}.\hspace{5mm}n=-1$

por lo tanto, Si se trata de una ecuación Bernoulli...

Para resolverla debemos usar la "sustitución"

$u=y^{1-n} \\ u=y^{1-(-1)} \\ u=y^{2}$

es decir que,

$y=\pm\sqrt{u}$

para no tener más problemas solo vamos a cosiderar el operador, no los signos, al final los pondremos ahora, derivamos usando la regla de la cadena,

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\left(\frac{du}{dx}\right)$

con éste resultado podemos reemplazar en la ecuación,

$\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{u}}\left(\frac{du}{dx}\right)-\frac{1}{2}\sqrt{u}=\frac{\cos(x)}{2\sqrt{u}}$

bien, fíjate que podemos simplificar el un medio y haciendo las operaciones entre fracciones, obtienes que,

$\displaystyle\frac{du}{dx}-u=\cos(x)$

y ésto ya no se ve tan dificil, mira que hemos logrado obtener una ecuación diferencial lineal de primer orden...

entonces debemos hallar el factor integrante para la ecuación supongamos que el intervalo sea, (0,infinito), enontces,

identificamos que P(x)=-1, entonces

$\mu(x)=\displaystyle e^{\int{-1}dx}=e^{-x}$

entonces multiplicamos a toda la ecuación por nuestra factor integrante,

$\displaystyle\frac{du}{dx}e^{-x}-ue^{-x}=\cos(x)e^{-x}=u'e^{-x}-ue^{-x}=\cos(x)e^{-x}$

ahora si te das cuenta, en la segunda igualdad indetificamos que ,

$u'e^{-x}-ue^{-x}=(ue^{-x})'$

es la derivada del producto, entonces, podemos comprimirlo así,

$(ue^{-x})'=\displaystyle\frac{d(ue^{-x})}{dx}=\cos(x)e^{-x}$

ahora solo queda integrar a cada lado, pero si recuerdas la integral de una derivada es igual a misma función, es el segundo teorema fundamental del cálculo entonces,

$\displaystyle ue^{-x}=\int{\cos(x)e^{-x}}dx$

esa integral ya es mucho más fácil, para eso debes usar la integración por partes dos veces...haber...consideramos

$u=\cos(x) \\ du=-\sin(x)dx \\ \\ dv=e^{-x}dx \\ v=-e^{-x}$

armamos a nuestra vaquita, entonces,

$\displaystyle\int{\cos(x)e^{-x}}dx=-\cos(x)e^{-x}-\int{e^{-x}\sin(x)}$

ahora nuevamente consideramos,

$u=\sin(x)\\du=\cos(x)dx \\ \\ dv=e^{-x}dx \\ v=-e^{-x}$

armamos otra vez a nuestra vaquita,

$\displaystyle\int{\sin(x)e^{-x}}dx=-\sin(x)e^{-x}+\int{e^{-x}\cos(x)}dx$

con éste resultado nos vamos a la integral original que estamos resolviendo,

$\displaystyle\int{\cos(x)e^{-x}}dx=-\cos(x)e^{-x}-\left(-\sin(x)e^{-x}+\int{e^{-x}\cos(x)}dx\right) \\\\\int{\cos(x)e^{-x}}dx=-\cos(x)e^{-x}+\sin(x)e^{-x}-\int{e^{-x}\cos(x)}dx$

si consideras que $a=\displaystyle\int{e^{-x}\cos(x)}dx$ entonces,

$a=-\cos(x)e^{-x}+\sin(x)e^{-x}-a \\ 2a=[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x} \\ \\ a=\displaystyle\frac{[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x} }{2} \\ \\ \int{e^{-x}\cos(x)}dx=\frac{[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x} }{2} +C$

$ue^{-x}=\displaystyle\frac{[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x} }{2} +C \\ \\ u=\frac{\frac{1}{2}[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x}+C_{1}}{e^{-x}} \\ \\ donde:C_{1}=2C$

y finalmente volvemos a la variable original, entonces,

entonces, nos queda,

$y^{2}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x}+C_{1}}{e^{-x}}$

si queremos la ecuación explícita nos faltaría por despejar ye, entonces,

$|y|=\displaystyle\sqrt{\frac{\frac{1}{2}[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x}+C_{1}}{e^{-x}}} \\ \\ \\ y=\pm\sqrt{\frac{\frac{1}{2}[\sin(x)-\cos(x)]e^{-x}+C_{1}}{e^{-x}}}$

y eso sería todo, tiene una especie de "dos ramas" con C_(1)=cualquier constante...y ya..

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

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