Question

Dany jest wielomian w(x) = x3 + ax2 - 9x + b
spełniający warunki:
w(-1) = - 16 i w (4) = 49
a) wyznacz parametry a ib
b) Rozłóż wielomian na czynniki i wyznacz miejsce zerowe

Answer 1

W(x) = x³ + ax² - 9x + b

Skoro W(-1)=-16
to podstawiając pod x=-1 obliczamy:
W(-1)=(-1)³ + a(-1)² - 9(-1) + b = -1+a+9+b = 8+a+b
czyli
8+a+b=-16

Skoro W(4)=49
to podstawiając pod x=4 obliczamy:
W(4)=4³ + a·4² - 9·4 + b = 64+16a-36+b = 28+16a+b
czyli
28+16a+b=49

Mamy dwa równania i dwie niewiadome, tworze więc układ równań:
8+a+b=-16 /-8
28+16a+b=49 /-28

a+b=-24
16a+b=21

b=-24-a
16a+(-24-a)=21

b=-24-a
16a-24-a=21

b=-24-a
15a-24=21

b=-24-a
15a=45 /:15

b=-24-a
a=3

b=-24-3
a=3

b=-27
a=3

Mając współczynniki, podstawiamy do wielomianu:
w(x) = x³ + 3x² - 9x -27

Żeby rozłożyć wielomian na czynniki, zastosuję grupowanie i wyciągnę wspólny czynnik przed nawias:
x³ + 3x² - 9x -27=x²(x+3) -9(x+3)=(x+3)(x²-9)=(x+3)(x+3)(x-3)

W(x) = (x+3)(x+3)(x-3)

Miejsca zerowe: podwójny pierwiastek -3 oraz 3.

Answer 2

W(x) = x3 + ax2 - 9x + b

w(-1) = - 16
za x podstawiam -1
-16=-1+a+9+b
-24=a+b


w (4) = 49
za x podstawiam 4
49=64+16a-36+b
21=16a+b

Powstaje mi układ równań

-24=a+b
21=16a+b

-24=a+b
b=21-16a

-24=a+(21-16a)
-24=a+21-16a
-24=-15a+21
-45=-15a I *(-1)
15a=45
a=3

b=21-16*3
b=-27

w(x) = x3 + ax2 - 9x + b
W(x)=x³+3x²-9x-27
W(x)=x²(x+3)-9(x+3)
W(x)=(x²-9)(x+3)
W(x)=(x-3)(x+3)²

miejsca zerowe to x=3, x=-3