Dany jest układ równań z niewiadomymi x,y: { 2x+by=a bx +2y=a } Rozwiąż ten układ a następnie na pła.... Question from @chov132

September 2018 1 31 Report

Dany jest układ równań z niewiadomymi x,y: { 2x+by=a
bx +2y=a
}
Rozwiąż ten układ a następnie na płaszyźnie z prostokątnym układem współrzędnych zilustruj zbiór wszystkich punktów (a;b), dla których dany układ równań nie ma rozwiązania.

rezzy

Zapiszę ten układ w latexu żeby lepiej było widać:

$2x+by=a$

$bx+2y=a$

Po pierwsze aby układ nie miał rozwiązania wyznacznik główny musi się zerować (ale to nie jedyny warunek, jednakże jest on konieczny):

$W = 4 - b^2$

Teraz narzucając warunek W = 0:

$b^2=4$

zatem:

$b \in \{-2;2\}$

Musimy policzyć jeszcze dwa inne wyznaczniki:

$W_x = 2a - ab = a(2-b)$

$W_y = 2a - ab = a(2-b)$

Okazuje się, że oba wyznaczniki są takie same. To dobrze, bo to znaczy, że albo oba będą się zerować albo oba będą niezerowe.

Tak więc mamy warunek, że:

$a(2-b) \neq 0$

Podstawiając dwie uzyskane wartości otrzymamy dwa równania. Po kolei, najpierw weźmy b = -2 i podstawmy do powyższej nierówności:

$4a \neq 0$

czyli:

$a \neq 0$

Zatem dla b = -2,wartość "a" nie może być 0.

Teraz trzeba się zająć drugą wartością b. Podstawiając b = 2 mamy:

$a(2-2) \neq 0$

$a\cdot 0 \neq 0$

Jak widać bez względu jakie a wybierzemy nierówność nigdy nie będzie spełniona, bo a mnożymy przez 0. Czyli nie ma takiego a, aby 0 * a nie było równe 0. Dlatego rozwiązanie drugie odpada, bo nie spełnia warunków. Gdybyśmy zaakceptowali to rozwiązanie, to mielibyśmy wyznacznik główny równy 0 i pozostałe wyznaczniki Wx i Wy też równe zero. Taki stan rzeczy odpowiada nieskończonej liczbie rozwiązań, a my szukamy takiego przypadku, gdzie nie mamy ani jednego rozwiązania.

Ostatecznie rozwiązaniem naszego problemu jest:

$b = -2$