Question

Dany jest trójkąt prostokątny. Udowodnij, że pole koła, którego średnicą jest przeciwprostokątna jest równe sumie pól kół, których średnicami są przyprostokątne.

Answer 1

I)
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b
oraz przeciwprostokątnej c, więc a²+ b²= c²
II)
Obliczamy pole koła, którego średnicą
jest przeciwprostokątna c, więc promień rc= ½c
Pc= π(rc)²= π(½c)²= ¼πc²
III)
Obliczamy pole koła, którego średnicą
jest przyprostokątna a,więc promień ra= ½a
Pa= π(ra)²= π(½a)²= ¼πa²
Obliczamy pole koła, którego średnicą
jest przyprostokątna b, więc promień rb= ½b
Pb= π(rb)²= π(½b)²= ¼πb²
Teraz obliczamy sumę pól Pa i Pb:
{korzystamy z I)i II): a²+ b²= c² i Pc= π(rc)²= π(½c)²= ¼πc²}
Pa+ Pb= ¼πa²+ ¼πb²= ¼π(a²+ b²)= ¼πc² = π(½c)²= π(rc)²= Pc
Odp. Pole koła, którego średnicą jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest równe sumie pól kół, których średnicami są przyprostokątne tego trójkąta.